Abbildungen reeller Submannigfaltigkeiten in komplexen Räumen

Es war wahrscheinlich Poincare, am Anfang des letzten Jahrhunderts, der zum ersten Mal bemerkte, daß holomorphe Abbildungen zwischen reellen Submannigfaltigkeiten komplexer Räume einige spezielle Eigenschaften haben. Es gibt allerdings noch immer einige Fragen in diesem Gebiet, die keine zufriedenstellende Antwort gefunden haben. Dieses Forschungsprojekt wird sich vor allem mit den folgenden Problemstellungen beschäftigen. Es gibt Klassen reeller Hyperflächen, von denen bekannt ist, daß holomorphe Abbildungen, die einen Punkt der Hyperfläche fixieren und diese in sich selber überführen, eindeutig durch ihre Ableitungen an diesem Punkt bestimmt sind. Mich interessieren vor allem die folgenden zwei Fragen: Erstens, bestimme die Zahl der benötigten Ableitungen durch geometrische Invarianten der Hyperfläche. Zweitens, was für eine Rolle spielt die Eigenschaft des endlichen Typus? Eine reelle Hyperfläche ist von endlichen Typus an einem gegebenen Punkt, wenn sie keine komplexen Hyperflächen durch diesen Punkt enthält. Während es bekannt ist, daß endlicher Typus in Dimension 2 nicht notwendig ist, ist sie eine Vorraussetzung in allen bekannten Ergebnissen in höheren Dimensionen. Auch holomorphe Abbildungen zwischen reellen Submannigfaltigkeiten in Räumen verschiedener Dimension sind in manchen Fällen durch eine endliche Anzahl ihrer Ableitungen eindeutig bestimmt. Die bekannten Ergebnisse sind um einiges unvollständiger als die Ergebnisse im äquidimensionalen Fall. Die Anzahl der Ableitungen die benötigt werden hängt nämlich in den bekannten Ergebnissen von der Abbildung ab; ob das ein natürliches Phänomen ist, oder ob uns einfach noch der richtige Zugang fehlt, ist bis heute unklar. Eine andere Fragestellung an der ich arbeiten werde ist die Frage nach der endlichen Bestimmtheit von CR Abbildungen. Diese Abbildungen erfüllen die partiellen Differentialgleichungen, die Holomorphie beschreiben, nur tangential, und es ist noch unklar wann diese Abbildungen durch eine endliche Ableitung bestimmt sind. Einige Fragen die mit der Regularität und der Klassifikation der Abbildungen zusammenhängen tauchen immer wieder während der Arbeit an den genannten Fragen auf, und auch diese werden in diesem Forschungsprojekt bearbeitet werden.

Es war wahrscheinlich Poincare, am Anfang des letzten Jahrhunderts, der zum ersten Mal bemerkte, daß holomorphe Abbildungen zwischen reellen Submannigfaltigkeiten komplexer Räume einige spezielle Eigenschaften haben. Es gibt allerdings noch immer einige Fragen in diesem Gebiet, die keine zufriedenstellende Antwort gefunden haben. Dieses Forschungsprojekt wird sich vor allem mit den folgenden Problemstellungen beschäftigen. Es gibt Klassen reeller Hyperflächen, von denen bekannt ist, daß holomorphe Abbildungen, die einen Punkt der Hyperfläche fixieren und diese in sich selber überführen, eindeutig durch ihre Ableitungen an diesem Punkt bestimmt sind. Mich interessieren vor allem die folgenden zwei Fragen: Erstens, bestimme die Zahl der benötigten Ableitungen durch geometrische Invarianten der Hyperfläche. Zweitens, was für eine Rolle spielt die Eigenschaft des endlichen Typus? Eine reelle Hyperfläche ist von endlichen Typus an einem gegebenen Punkt, wenn sie keine komplexen Hyperflächen durch diesen Punkt enthält. Während es bekannt ist, daß endlicher Typus in Dimension 2 nicht notwendig ist, ist sie eine Vorraussetzung in allen bekannten Ergebnissen in höheren Dimensionen. Auch holomorphe Abbildungen zwischen reellen Submannigfaltigkeiten in Räumen verschiedener Dimension sind in manchen Fällen durch eine endliche Anzahl ihrer Ableitungen eindeutig bestimmt. Die bekannten Ergebnisse sind um einiges unvollständiger als die Ergebnisse im äquidimensionalen Fall. Die Anzahl der Ableitungen die benötigt werden hängt nämlich in den bekannten Ergebnissen von der Abbildung ab; ob das ein natürliches Phänomen ist, oder ob uns einfach noch der richtige Zugang fehlt, ist bis heute unklar. Eine andere Fragestellung an der ich arbeiten werde ist die Frage nach der endlichen Bestimmtheit von CR Abbildungen. Diese Abbildungen erfüllen die partiellen Differentialgleichungen, die Holomorphie beschreiben, nur tangential, und es ist noch unklar wann diese Abbildungen durch eine endliche Ableitung bestimmt sind. Einige Fragen die mit der Regularität und der Klassifikation der Abbildungen zusammenhängen tauchen immer wieder während der Arbeit an den genannten Fragen auf, und auch diese werden in diesem Forschungsprojekt bearbeitet werden.