Lie Theorie und Anwendungen II

Dieses Projekt ist als Fortsetzung des Projekts P14195-MAT gedacht und wird gleichzeitig am Erwin Schrödinger Institut und am Institut für Mathematik der Universität Wien stattfinden. Die Forschung wird verschiedene Ziele verfolgen: 1. In früheren Arbeiten betrachteten wir das Problem Nullstellen einer einparameter Familie von Polynomen möglichst glatt zu wählen. Dies verallgemeinert sich zu einer Frage über Invarianten von orthogonalen Darstellungen von Lie Gruppen. Wir planen dieses Problem weiter zu untersuchen. Auch wollen wir Polynome betrachten die von mehreren Parametern abhängen und den Zusammenhang mit `entanglements` in der Quantenmechanik verstehen. 2. Wir haben vor die verallgemeinerte Cayley Transformation einer Lie Gruppe in ihre Lie Algebra weiter zu studieren. Besonderes Augenmerk soll dabei auf Körper endlicher Charakteristik gelegt werde. 3. Wir betrachten den Raum der unparametrisierten einfach geschlossenen Kurven in der Ebene der auch als Raum der `shapes` verstanden werden kann. Wir haben bereits begonnen eine Klasse von (schwachen) Riemann-Metriken, ihre Geodätengleichung, Krümmung und geodätische Distanz zu untersuchen. Wir wollen diese Metriken mit der Weil-Peterssen-Metrik aus Teichmüller- und Stringtheorie vergleichen. 4. Wir beabsichtigen unsere Untersuchungen der Geometrie von Orbit Räumen von isometrischen Lie-Gruppen- Wirkungen fortzusetzen. Hier gibt es Zusammenhänge mit interessanten dynamischen Systemen die das Calogero-Morser-Sys-tem verallgemeinern. 5. Wir wollen unser Studium über die Ausdehnbarkeit von infinitesimalen Gruppen-Wirkungen zu Gruppen- Wirkungen auf erweiterten Mannigfaltigkeiten fortsetzen. Auch beabsichtigen wir `flow completions` von positiven Halbgruppen zu betrachten. Als eine Anwendung sollte dies eine Methode liefern um Vislcositätslösungen der Burgers Gleichung zu untersuchen. 6. Die Kohomologie einer Poisson-NIannigfaltigkeit erbt viel Struktur. Insbesondere eine Filtration die Brylinskis Raum der Poisson-harmonischen Formen verallgemeinert. Da jede Poisson-Abbildung diese Struktur bewahren muss, sollte man so Einschränkungen an den Homotopietyp von Poisson-Abbildungen erhalten. Daher wollen wir diese Struktur für einfache Poisson-Mannigfaltigkeiten wie z.B. Hamiltonsche Faserungen berechnen. Auch scheint es als könnte diese Methode Information über die Singularitäten von Poisson-Mannigfaltigkeiten liefern. 7. Es gibt einen engen Zusammenhang zwischen Spektralgeometrie und Dynamik. Beispielsweise können die Inzidenzzahlen des Morse-Novikov-Komplexes und die Anzahl der geschlossenen Trajektorien einer geschlossenen Einsform mittels Spektralgeometrie berechnet werden. Wir wollen dies auf den Morse-Bott- Novikov Fall ausdehnen. 8. Die Vortex Filament Gleichung für Kreise im dreidimensionalen Raum läßt sich zu einer Hamiltonschen Gleichung auf dem Raum der Kodimension zwei Teilmannigfaltigen einer Riemann-Mannigfaltigkeit verallgemeinern. Dies ist eine nicht lineare Evolutionsgleichung. Als ersten Schritt im Studium dieser Gleichung planen wir Existenz (für kurze Zeit) und Eindeutigkeit ihrer Lösungen zu beweisen.