Mikrolokale Analysis, Algebren verallgemeinerter Funktionen

Das Projekt stellt eine systematische Erweiterung von mikrolokaler Analysis und Regularitätstheorie auf partielle Differentialgleichungen mit verallgemeinerten Funktionen als Koeffizienten dar. In den Anwendungen treten solche Gleichungen zum Beispiel in Modellen der Wellenausbreitung in stark irregulären Medien auf (wie etwa seismische Wellen in den oberen Erdschichten). Typisch als Quellterme sind starke punktförmige Impulse (z.B. Deltafunktionen), die in Form von stark singulären Anfangsdaten oder rechten Seiten in die Modellgleichungen einfließen. Die daraus resultierenden singulären (d.h. nicht glatten) Störungen, die die Lösung beschreibt, enthalten die Informationen über die Materialeigenschaften (sowie die der Quelle). In der mathematischen Beschreibung erfordert die Untersuchung solcher Phänomene eine Theorie für die Ausbreitung von Singularitäten bei verallgemeinerten Lösungen von partiellen Differential-gleichungen mit singulären (oft unstetigen) Koeffizienten. Dabei treten nichtlineare Wechselwirkungen von Singularitäten auf, die mit klassischer Analysis in Räumen von Funktionen und Distributionen nicht behandelt werden können. Das Ziel des Projektes ist eine umfassende Theorie der mikrolokalen Analysis, also einer Analysis von Singularitätenspektren, in Algebren verallgemeinerter Funktionen. Die Grundlage dafür wird ein neuer verallgemeinerter Pseudo-differentialkalkül und eine neue Theorie oszillatorischer Integrale mit singulären Phasenfunktionen und Amplituden sein. Solche verallgemeinerten Phasen und Amplituden treten zum Beispiel bei der Konstruktion von Näherungslösungen zu hyperbolischen Gleichungen nach den Methoden der geometrischen Optik auf (Fourier-Integraloperator-Parametrix), wo sie die qualitativen Eigenschaften des Mediums widerspiegeln. Daher ist es wesentlich, deren Einfluss auf sich ausbreitende Anfangssingularitäten im Detail verstehen zu können. Darüber hinaus sind Fourier-Integraloperatoren ein Mittel, um das ursprüngliche Problem in eine geometrische Standardsituation überzuführen, wo die Ausbreitung von Singularitäten entlang von Bicharakteristiken direkter studiert werden kann. Im Rahmen des Projektes wird auch diese Methode auf den Fall eines nichtglatten bicharakteristischen Flusses verallgemeinert.

Partielle Differentialgleichungen stellen eines der wichtigsten Modellierungswerkzeuge in Naturwissenschaft und Technik dar. Mit ihrer Hilfe können physikalische Größen beschrieben werden, die zeitlich und räumlich variieren. Ein typisches Beispiel dafür ist die Wellenausbreitung in Flüssigkeiten, Gasen und Festkörpern. Die Koeffizienten dieser Gleichungen kodifizieren die Materialeigenschaften des zugrunde liegenden Mediums, in dem die Ausbreitung stattfindet. Die so genannten Anfangswerte beschreiben die physikalischen Ereignisse, die die sich ausbreitenden Störungen verursachen. Immer häufiger verlangt die Modellierung solcher Phänomene, Koeffizienten und Anfangwerte zuzulassen, die nicht glatte Funktionen im herkömmlichen Sinn sind. Die Modellierung seismischer Wellen in der Erdoberfläche bietet ein Anschauungsbeispiel. Brüche und Unstetigkeiten des Mediums spiegeln sich in den Koeffizienten der Gleichungen, und die gemessenen Wellen werden oft durch starke, punktförmige Pulse erzeugt, etwa Erdbeben oder Explosionen. Der klassische Differentialkalkül kann das gleichzeitige Auftreten starker Irregularitäten in den Koeffizienten und den Anfangsdaten nicht behandeln. Vor ungefähr zwei Jahrzehnten wurde eine Theorie verallgemeinerter Funktionen begonnen, in der solche Differentialgleichungen mit irregulären Koeffizienten in voller Allgemeinheit gelöst werden konnten. Das vorliegende Projekt spricht die Eigenschaften dieser verallgemeinerten Lösungen an, insbesondere die Lokalisierung von Unstetigkeiten in sich ausbreitenden Wellen. Für die Untersuchung der Eigenschaften klassischer glatter Lösungen waren im Laufe des letzten halben Jahrhunderts ziemlich hochkarätige mathematische Werkzeuge entwickelt worden. Diese Werkzeuge bilden einen Wissensblock, der heute mit mikrolokaler Analysis bezeichnet wird - der Spektraltheorie von Singularitäten - und solche fortgeschrittene mathematischen Konzepte wie Pseudodifferentialperatoren und Fourierintegraloperatoren beinhaltet. Ziel des Projekts war die Entwicklung einer analogen Theorie, aber für verallgemeinerte Lösungen in dem oben beschriebenen weiteren Sinn. Im Projekt gelang es, eine vollständige Theorie dieser Fourierintegraloperatoren im verallgemeinerten Rahmen zu erstellen. Die Regularitätseigenschaften der Lösungen von Gleichungen mit irregulären Koeffizienten können nunmehr verstanden und beschrieben werden. Im Zuge der Entwicklung dieser Werkzeuge legte das Projekt den Grundstein für zukünftige Anwendungen und für ein besseres Verständnis davon, was die physikalischen Modelle über die Ausbreitung von Singularitäten aussagen. Zusätzlich wurden eine Reihe grundlegender Ergebnisse erzielt, die zum Fortschritt im Gebiet der verallgemeinerten Funktionen selbst beitragen. Insbesondere konnte das klassische Konzept des Abstandes zweier Funktionen (Topologie von Funktionenräumen) auf verallgemeinerte Funktionen übertragen werden - mit all seinen wichtigen Folgerungen, die daraus gezogen werden können.