Quantenfeldtheorie auf nichtkommutativen Räumen

Der alte Traum einer vereinheitlichten Theorie, die Quantenmechanik und Relativitätstheorie miteinander in Einklang bringt, konnte trotz intensiver Bemühungen noch nicht realisiert werden. Dies zeigt sich in den typischen Problemen, die im Zusammenhang mit Quantenfeldtheorien auftreten. Die Vereinigung von elektrischer, magnetischer, schwacher und starker Kraft war ein sehr großer Schritt in Richtung einer vereinheitlichten Theorie. Eine Einbeziehung der Gravitation hat zur Folge, daß unsere jetzigen Konzepte der Raum-Zeit im Kleinen nicht anwendbar sind. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten müssen deformiert werden. Solche Modifikationen klassischer Theorien sind der Ausgangspunkt unseres Projektes. In den letzten Jahren wurden feldtheoretische Modelle auf verschiedensten nichtkommutativen Raumstrukturen diskutiert. Wir wollen uns in unserer Forschungsarbeit auf vier Typen nicht-kommutativer Räume konzentrieren, nämlich auf kanonisch quantisierte Räume, Fuzzy-Sphären, q-deformierte Fuzzy-Sphären und Kappa-deformierte Räume. Gegenüber der kanonisch quantisierten Räume haben die anderen den Vorteil, daß es eine verallgemeinerte (deformierte) Symmetriegruppe gibt, unter der diese Räume invariant sind. Auf kanonisch deformierte Strukturen trifft dies nicht zu. Der Großteil der Arbeiten auf diesem Gebiet beschränken sich auf die "erste Quantisierung", es werden aber auch Quantenfeld-theorien auf nichtkommutativen Räumen untersucht. Quanteneffekte sind hier aber nur zum Teil unter Kontrolle. Insbesondere bereitet das sogenannte "UV-IR Mixing" Probleme bei der störungstheoretischen Renormierung. Auch über die konsistente Implementierung von verallgemeinerten Symmetrien ist wenig bekannt. Das vorgeschlagene Projekt verfolgt zwei Ziele: Zum einen wollen wir ein besseres Verständnis der Quantisierung von Feldtheorien auf quantisierten Räumen erlangen. Die hierzu verwendeten Methoden sind Renormierungsgruppen-Techniken und das Ausnützen von speziellen Vereinfachungen, die bei Fuzzy-Sphären auftreten. Eichtheorie auf Fuzzy-Sphären kann als Matrix Modell nichtperturbativ definiert werden, welche invariant unter U(N) sind. Eines der Ziele ist es, mithilfe dieser Methoden die Existenz eines klassischer Limes zu zeigen, sowie die Renormierbarkeit dieser Modelle. Zum anderen werden wir die Implementierung von verallgemeinerten Symmetrien, die im Zusammenhang mit Feldtheorien auf Kappa-deformierten und q- deformierten Räumen existieren, studieren. Eichtheoretische Lagrange-Modelle mit Kappa- (bzw. q-) deformierten Symmetrie aufweisen, sollen formuliert und untersucht werden.