Geometrische Theorie verallgemeinerter Funtionen

Algebren verallgemeinerter Funktionen im Sinn von J. F. Colombeau wurden in den frühen achtziger Jahren primär als Werkzeug zur Analyse mathematischer Probleme entwickelt, in denen (a) Differentiation, (b) nichtlineare Operationen und (c) singuläre Objekte eine Rolle spielen. In diesem Sinn stellen sie daher sowohl eine Erweiterung der klassischen Analysis (die zur Behandlung von (a) und (b) geeignet ist) als auch der Distributionentheorie von L. Schwartz (die die Behandlung von (a) und (c) erlaubt) dar. Das Hauptanwendungsgebiet der Colombeauschen Algebren lag zunächst auf dem Gebiet der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen in der Gegenwart von Singularitäten. Darüber hinaus entstand ab Mitte der neunziger Jahre eine Reihe von Anwendungen der Theorie auf Fragen primär geometrischen Inhaltes, insbesondere in der Liegruppen-Analyse von Differentialgleichungen und in Einsteins Relativitätstheorie. Die Koordinateninvarianz der Konstruktion erhielt dadurch zentrale Bedeutung für die weitere Entwicklung der Theorie. Da die ursprüngliche Konstruktion Colombeau`s diese Invarianzeigenschaft nicht besaß, wurde sie in den späten neunziger Jahren von einer Reihe von Autoren grundlegend umstrukturiert, was schließlich zur Enstehung der sogenannten "geometrischen Theorie verallgemeinerter Funktionen" führte. Diese Konstruktion erlaubt schließlich die Betrachtung des Problemkreises (a), (b), (c) in voller Allgemeinheit und in einem globalen Kontext. Das gegenwärtigen Projekt verfolgt zwei Ziele: erstens, die Weiterentwicklung der geometrischen Theorie verallgemeinerter Funktionen selbst (singuläre gewöhnliche Differentialgleichungen, verallgemeinerte Konnexionen, Einbettungseigenschaften, ...); und zweitens die Anwendung der entstehenden Theorie auf Probleme der allgemeinen Relativitätstheorie (sphärische impulsive Graviationswellen, Staublösungen der Einsteingleichungen, ...) und Symmetriegruppenanalyse von Differentialgleichungen (Globalisierung der bestehenden Theorie, Studium von gruppeninvarianten verallgemeinerten Funktionen), den Gebieten also, die die Hauptmotivation für die Entwicklung der Theorie darstellten.

Algebren verallgemeinerter Funktionen im Sinn von J. F. Colombeau wurden in den frühen achtziger Jahren primär als Werkzeug zur Analyse mathematischer Probleme entwickelt, in denen (a) Differentiation, (b) nichtlineare Operationen und (c) singuläre Objekte eine Rolle spielen. In diesem Sinn stellen sie daher sowohl eine Erweiterung der klassischen Analysis (die zur Behandlung von (a) und (b) geeignet ist) als auch der Distributionentheorie von L. Schwartz (die die Behandlung von (a) und (c) erlaubt) dar. Das Hauptanwendungsgebiet der Colombeauschen Algebren lag zunächst auf dem Gebiet der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen in der Gegenwart von Singularitäten. Darüber hinaus entstand ab Mitte der neunziger Jahre eine Reihe von Anwendungen der Theorie auf Fragen primär geometrischen Inhaltes, insbesondere in der Liegruppen-Analyse von Differentialgleichungen und in Einsteins Relativitätstheorie. Die Koordinateninvarianz der Konstruktion erhielt dadurch zentrale Bedeutung für die weitere Entwicklung der Theorie. Da die ursprüngliche Konstruktion Colombeau`s diese Invarianzeigenschaft nicht besaß, wurde sie in den späten neunziger Jahren von einer Reihe von Autoren grundlegend umstrukturiert, was schließlich zur Enstehung der sogenannten "geometrischen Theorie verallgemeinerter Funktionen" führte. Diese Konstruktion erlaubt schließlich die Betrachtung des Problemkreises (a), (b), (c) in voller Allgemeinheit und in einem globalen Kontext. Das gegenwärtigen Projekt verfolgt zwei Ziele: erstens, die Weiterentwicklung der geometrischen Theorie verallgemeinerter Funktionen selbst (singuläre gewöhnliche Differentialgleichungen, verallgemeinerte Konnexionen, Einbettungseigenschaften, ...); und zweitens die Anwendung der entstehenden Theorie auf Probleme der allgemeinen Relativitätstheorie (sphärische impulsive Graviationswellen, Staublösungen der Einsteingleichungen, ...) und Symmetriegruppenanalyse von Differentialgleichungen (Globalisierung der bestehenden Theorie, Studium von gruppeninvarianten verallgemeinerten Funktionen), den Gebieten also, die die Hauptmotivation für die Entwicklung der Theorie darstellten.