Extremalpolynome

Extremalpolynome, das sind Polynome, die auf einer gegebenen kompakten Menge unter allen Polynomen vom Grad n mit Hauptkoeffizienten eins am wenigsten von Null abweichen, treten in vielen Gebieten der Mathematik auf wie in der Numerischen Analysis, Signaltheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie etc.. In den letzten Jahren stellte sich heraus, daß sie auch in der Kombinatorik, der Random Matrix Theory sowie bei Integrierbaren Systemen eine wichtige Rolle spielen. Aber im Gegensatz zu früher, als Extremalpolynome auf einem Intervall die zentrale Rolle spielten, sind nun solche auf nichtzusammenhängenden Mengen, wie auf mehreren Intervallen, auf Cantor Mengen oder auf Julia Mengen von Bedeutung. Eines der Hauptziele dieses Projekts ist es, asymptotische Darstellungen für Extremalpolynome auf nichtzusammenhängenden Mengen bezüglich der L_q-Normen (einschließlich der Maximumsnorm) sowie das Verhalten ihrer Nullstellen zu finden. Während im Fall eines Intervalls genaue asymptotische Darstellungen und detaillierte Informationen über die Extremalpolynome vorliegen, ist die Situation für nichtzusammenhängende Mengen eine völlig andere. Abgesehen vom Fall der Orthogonalpolynome, d.h. dem L_2-Fall, für den in den sechziger Jahren Achieser und Widom asymptotische Darstellungen für den Fall mehrerer Intervalle und Bögen herleiteten, ist nichts über die obengenannten Probleme bekannt. Zum Beispiel sind bezüglich der Nullstellen selbst solche einfache Fragen wie "Wieviele Nullstellen besitzt das Extremalpolynom in jeder Komponente, wieviele außerhalb der Komponenten, wie groß ist der Abstand der Nullstellen, .." immer noch offen, obwohl Fragen dieser Art bereits von berühmten Mathematikern wie A. Markoff oder Stieltjes erwähnt und untersucht worden sind. Ein besseres Verständnis des Verhaltens der Nullstellen von Extremalpolynomen würde es auch ermöglichen das dynamische Verhalten der Lösungen gewisser integrierbarer Systeme, insbesondere der von Toda Gittern, besser zu verstehen. Viele der oben genannten Probleme führen auf funktionentheoretische Probleme auf hyperelliptischen Riemann Flächen, wie zum Jacobi Inversionsproblem oder der Darstellung u. der Bestimmung der Zahl der Nullstellen von auf Riemann Flächen analytischen Funktionen.

Extremalpolynome, das sind Polynome, die auf einer gegebenen kompakten Menge unter allen Polynomen vom Grad n mit Hauptkoeffizienten eins am wenigsten von Null abweichen, treten in vielen Gebieten der Mathematik auf wie in der Numerischen Analysis, Signaltheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie etc.. In den letzten Jahren stellte sich heraus, daß sie auch in der Kombinatorik, der Random Matrix Theory sowie bei Integrierbaren Systemen eine wichtige Rolle spielen. Aber im Gegensatz zu früher, als Extremalpolynome auf einem Intervall die zentrale Rolle spielten, sind nun solche auf nichtzusammenhängenden Mengen, wie auf mehreren Intervallen, auf Cantor Mengen oder auf Julia Mengen von Bedeutung. Eines der Hauptziele dieses Projekts ist es, asymptotische Darstellungen für Extremalpolynome auf nichtzusammenhängenden Mengen bezüglich der L_q-Normen (einschließlich der Maximumsnorm) sowie das Verhalten ihrer Nullstellen zu finden. Während im Fall eines Intervalls genaue asymptotische Darstellungen und detaillierte Informationen über die Extremalpolynome vorliegen, ist die Situation für nichtzusammenhängende Mengen eine völlig andere. Abgesehen vom Fall der Orthogonalpolynome, d.h. dem L_2-Fall, für den in den sechziger Jahren Achieser und Widom asymptotische Darstellungen für den Fall mehrerer Intervalle und Bögen herleiteten, ist nichts über die obengenannten Probleme bekannt. Zum Beispiel sind bezüglich der Nullstellen selbst solche einfache Fragen wie "Wieviele Nullstellen besitzt das Extremalpolynom in jeder Komponente, wieviele außerhalb der Komponenten, wie groß ist der Abstand der Nullstellen, .." immer noch offen, obwohl Fragen dieser Art bereits von berühmten Mathematikern wie A. Markoff oder Stieltjes erwähnt und untersucht worden sind. Ein besseres Verständnis des Verhaltens der Nullstellen von Extremalpolynomen würde es auch ermöglichen das dynamische Verhalten der Lösungen gewisser integrierbarer Systeme, insbesondere der von Toda Gittern, besser zu verstehen. Viele der oben genannten Probleme führen auf funktionentheoretische Probleme auf hyperelliptischen Riemann Flächen, wie zum Jacobi Inversionsproblem oder der Darstellung u. der Bestimmung der Zahl der Nullstellen von auf Riemann Flächen analytischen Funktionen.