Differentielle Eliminationstheorie (DET)

Differentialgleichungen erlauben die Modellierung zahlreicher Phänomene in Physik, Technik, Biologie, Finanzanalyse etc. Solche gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen werden seit langer Zeit untersucht, und es gibt sowohl symbolische als auch numerische Verfahren zur Analyse und Lösung. In diesem Projekt befassen wir uns hauptsächlich mit symbolischen Verfahren für Differentialgleichungen, d.h. mit der Reduktion von differentiellen auf algebraische Probleme und algebraischen Lösungsverfahren für diese hergeleiteten Probleme. Die Idee zu einem algebraischen Zugang zu Differentialgleichungen hat eine lange Geschichte. Im 19. Jahrhundert entwickelte S. Lie den Begriff der Transformationen, welche eine gegebene Differentialgleichung invariant lassen, sogenannter Lie-Symmetrien. Diese Symmetrien bilden eine Gruppe, eine sogenannte Lie-Gruppe. Die Grundidee besteht darin, eine Gruppe von Symmetrien einer Differentialgleichung aufzufinden, und diese dann zur Reduktion der Ordnung oder der Anzahl der Variablen zu benutzen. Zu Beginn des 20. Jahrhundert führten Riquier und Janet den Begriff der Involutivität für Systeme von algebraischen Differentialgleichungen ein. Ihre Theorie beinhaltet kanonische System von Generatoren für Differentialideale. Der Algorithmus zur Berechnung solcher kanonischer Janet-Basen weist große Ähnlichkeit auf mit Buchbergers Algorithmus zur Berechnung von Gröbner-Basen für algebraische Polynomideale. Ein weiterer Ansatz zur symbolischen Lösung von Differential-gleichungen stammt von J. Liouville. Dabei geht es um die formale Integration. Liouvilles Methode wurde erweitert zu einem Algorithmus zur Lösung von linearen Differentialgleichungen. Die algebraische Analyse von Differentialgleichungen kann verschiedentlich von Nutzen sein: manchmal kann man tatsächlich eine symbolische Lösung finden; gelingt es, Symmetrien der Differentialgleichung zu bestimmen, so lassen sich damit z.B. numerische Approximationsschemata verifizieren; die Lösbarkeit eines Systems von Differentialgleichungen kann entschieden werden; das Gleichungssystem kann trianguliert werden; die algebraischen Relationen eines Systems von algebraischen Differentialgleichungen können ermittelt werden. Zur effektiven Behandlung dieser Probleme bedarf es algorithmischer Methoden in der differentiellen Eliminationstheorie, also der Theorie differentieller Ideale in einem Ring von Differentialpolynomen. In der algebraischen Eliminationstheorie können wir die wichtigsten Fragen, wie z.B. nach der Konsistenz von Idealen, der Gleichheit von Idealen, dem Hauptproblem der Idealtheorie (auch für das Radikal), oder der Idealarithmetik konstruktiv beantworten. Die dabei verwendeten Mittel sind Resultanten, Gröbner-Basen, und algebraische involutive Basen. Für Differentialideale sind viele dieser Problem noch offen. So sind etwa das Hauptproblem oder das Inklusionsproblem für endlich erzeugte Differentialideale immer noch ungelöst. Das Hauptziel des Projektes besteht in der Analyse und Verbesserung bekannter Algorithmen und in der Entwicklung neuer algorithmischer Methoden der differentiellen Eliminationstheorie. Wichtige Anwendungen in der Kontrolltheorie sollen ebenfalls untersucht werden.

Differentialgleichungen erlauben die Modellierung zahlreicher Phänomene in Physik, Technik, Biologie, Finanzanalyse etc. Solche gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen werden seit langer Zeit untersucht, und es gibt sowohl symbolische als auch numerische Verfahren zur Analyse und Lösung. In diesem Projekt befassen wir uns hauptsächlich mit symbolischen Verfahren für Differentialgleichungen, d.h. mit der Reduktion von differentiellen auf algebraische Probleme und algebraischen Lösungsverfahren für diese hergeleiteten Probleme. Die Idee zu einem algebraischen Zugang zu Differentialgleichungen hat eine lange Geschichte. Im 19. Jahrhundert entwickelte S. Lie den Begriff der Transformationen, welche eine gegebene Differentialgleichung invariant lassen, sogenannter Lie-Symmetrien. Diese Symmetrien bilden eine Gruppe, eine sogenannte Lie-Gruppe. Die Grundidee besteht darin, eine Gruppe von Symmetrien einer Differentialgleichung aufzufinden, und diese dann zur Reduktion der Ordnung oder der Anzahl der Variablen zu benutzen. Zu Beginn des 20. Jahrhundert führten Riquier und Janet den Begriff der Involutivität für Systeme von algebraischen Differentialgleichungen ein. Ihre Theorie beinhaltet kanonische System von Generatoren für Differentialideale. Der Algorithmus zur Berechnung solcher kanonischer Janet-Basen weist große Ähnlichkeit auf mit Buchbergers Algorithmus zur Berechnung von Gröbner-Basen für algebraische Polynomideale. Ein weiterer Ansatz zur symbolischen Lösung von Differential-gleichungen stammt von J. Liouville. Dabei geht es um die formale Integration. Liouvilles Methode wurde erweitert zu einem Algorithmus zur Lösung von linearen Differentialgleichungen. Die algebraische Analyse von Differentialgleichungen kann verschiedentlich von Nutzen sein: manchmal kann man tatsächlich eine symbolische Lösung finden; gelingt es, Symmetrien der Differentialgleichung zu bestimmen, so lassen sich damit z.B. numerische Approximationsschemata verifizieren; die Lösbarkeit eines Systems von Differentialgleichungen kann entschieden werden; das Gleichungssystem kann trianguliert werden; die algebraischen Relationen eines Systems von algebraischen Differentialgleichungen können ermittelt werden. Zur effektiven Behandlung dieser Probleme bedarf es algorithmischer Methoden in der differentiellen Eliminationstheorie, also der Theorie differentieller Ideale in einem Ring von Differentialpolynomen. In der algebraischen Eliminationstheorie können wir die wichtigsten Fragen, wie z.B. nach der Konsistenz von Idealen, der Gleichheit von Idealen, dem Hauptproblem der Idealtheorie (auch für das Radikal), oder der Idealarithmetik konstruktiv beantworten. Die dabei verwendeten Mittel sind Resultanten, Gröbner-Basen, und algebraische involutive Basen. Für Differentialideale sind viele dieser Problem noch offen. So sind etwa das Hauptproblem oder das Inklusionsproblem für endlich erzeugte Differentialideale immer noch ungelöst. Das Hauptziel des Projektes besteht in der Analyse und Verbesserung bekannter Algorithmen und in der Entwicklung neuer algorithmischer Methoden der differentiellen Eliminationstheorie. Wichtige Anwendungen in der Kontrolltheorie sollen ebenfalls untersucht werden.