Kohomologie Dynamischer Systeme

Das Thema dieses Forschungsprojekts ist die Kohomologie dynamischer Systeme und die Anwendung kohomologischer Methoden in der Ergodentheorie, den differenzierbaren dynamischen Systemen, und verwandten Gebieten. Obwohl kohomologische Methoden seit jeher zum Standardrepertoire der Theorie der dynamischen Systeme gehören, gab es in den letzten Jahren eine Reihe von interessanten neuen Entwicklungen auf diesem Gebiet, die mit der Entdeckung von unerwarteten `Starrheitseigenschaften` bestimmter Klassen dynamischer Systeme (vor allem von Z-d-Aktionen) zusammenhängen. Diese `Starrheit` besteht darin, daß bei diesen Systemegewisseansonsten häufige Objekte sehr selten sind: sie haben wenige invariante Maße, sind schwer `deformierbar`, haben wenige Isomorphien und Automorphismen, oder sie haben wenige Kozyklen mit Werten in bestimmten Klassen von Gruppen. Das Ausmaß und der Zusammenhang zwischen diesen verschiedenen Formen der Starrheit ist zu einem großen Teil noch unerforscht. In diesem Projekt sollen nicht nur klassische Aspekte und Anwendungen von Kohomologie (inbesondere Anwendungen von Kohomologie in der Wahrscheinlichkeitstheorie, nichtabelsche Kohomologie und Livsic- Theorie) untersucht werden, sondern es soll auch zum Verständnis der kohomologischen Starrheit symbolischer und algebraischer Z-d-Aktionen und ihrer Verbindungen mit Isomorphiestarrheit und anderen Phänomenen der mehrparametrischen Ergodentheorie beitragen, die derzeit im Zentrum des Interesses stehen.

Die mathematische Theorie der dynamischen Systeme beschäftigt sich mit Gruppenaktionen auf Maßräumen, topologischen Räumen oder differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Wenn die agierende Gruppe die reelle Gerade ist, so interpretiert man diese Aktion üblicherweise als Zeitwentwicklung des Systems. Viele Fragen über dynamische Systeme (insbesondere über Störungen, Erweiterungen oder Isomorphien der Systeme) laufen auf das Studium sogenannter kohomologischer Gleichungen hinaus: das sind Analoga von Gruppenhomomorphismen und Isomorphismen für Aktionen von Gruppen, und nicht für die Gruppen selbst. In den letzten Jahren stieg das Interesse an der Kohomologie dynamischer Systeme aus mehreren Gründen erheblich an. Einer der Gründe war die Entdeckung von überraschenden geometrischen und algebraischen und kohomologischen Starrheitsphänomenen (vor allem von Aktionen von mehrparametrischen Gruppen). Ein weiteres aktives Gebiet ist die Untersuchung von Kozyklen mit Werten in nichtabelschen Gruppen und von nichtabelschen Schiefprodukten über dynamischen Systemen. Die aus diesem Forschungsprojekt entstandenen Resultate haben zu wesentlich zu diesen Themen beigetragen. Hier ist eine kurze Liste von Resultaten. Nichtabelsche Kozyklen in der topologischen Dynamik: Gernot Greschonig und Ulrich Haböck bewiesen interessante und unerwartete Regularitätsaussagen über stetige Kozyklen über Isometrien mit Werten in nichtabelschen Gruppen. Kohomologische Starrheit: Danijela Damjanovic bewies in gemeinsamen Arbeiten mit Anatole Katok starke differenzierbare Starrheitsresultate für partiell hyperbolische Aktionen mehrparametrischer abelscher Gruppen. Invariante Mengen und Maße partiell hyperbolischer Automorphismen endlichdimensionaler Tori: Gemeinsam mit Elon Lindenstrauss zeigte der Antragsteller, dass diese Objekte nicht nur überraschende Eigenschaften haben, sondern auch in engem Zusammenhang mit gewissen starren Kozyklen auf Shifträumen (oder, anders ausgedrückt, mit extrem eingeschränkten Zufallswanderungen) stehen. Diese Resultate ermöglichten die Klassifizierung und Konstruktion derartiger Mengen und Maße. All diese Resultate sind in der Zwischenzeit in internationalen Fachzeitschriften erschienen.