Geometrische Mengen-Operationen und Toleranzanalyse im CAD

Das Ziel dieses Forschungsprojekts ist das Studium von Geometrischen Mengen-Operationen, motiviert durch die Toleranzanalyse von geometrischen Konstruktionen. Es gibt Bedarf für effiziente und zuverlässige Algorithmen zur numerischen Behandlung von unpräzise festgelegten geometrischen Daten. Ein wichtiges Konzept in diesem Zusammenhang ist der Begriff des Toleranzgebietes, welches eine natürliche Verallgemeinerung der Objekte der Interallarithmetik auf der reellen Zahlengeraden darstellt. Wenn die Eingabe-Daten eines geometrischen Algorithmus zum Beispiel Punkte, Gerade, etc., sind, so verlangt der dazugehörige Algorithmus für Toleranzgebiete Mengen von Punkten, Geraden, etc., und bestimmt alle möglichen Ausgabe-Daten des ursprünglichen Algorithmus, wenn wir erlauben, dass die Eingabedaten unabhängig voneinander in den jeweiligen Toleranzgebieten variieren. Die Schwierigkeiten sind hier nicht begrifflicher, sondern algorithmischer Art. Sogar sehr einfache geometrischen Konstruktionen (wie das Bestimmen eines Kreises durch drei Punkte) werden einigermaßen umständlich, wenn man sie auf Toleranzgebiete ausweitet. Eine Ausnahme sind lineare und affine Konstruktionen (dazu gehören die meisten Interpolations- und Approximationsalgorithmen aus der geometrischen Datenverarbeitung), die gut untersucht sind und deren Toleranzanalyse hauptsächlich auf der Minkowskisumme von Kurven und Flächen und deren Verallgemeinerungen beruht. Das Programm für dieses Forschungsprojekt ist nun wie folgt: - Eine systematische Untersuchung von zwei- und dreidimensionalen geometrischen Konstruktionen relevant im CAD - hier sind bisher nicht einmal die zweidimensionalen Fälle erschöpfend abgehandelt worden. Studium von Toleranzgebieten für geometrische Transformationen, für Kurven und Flächen, sowie Betrachtung von probabilistischen Toleranzen. - Durch die in diesem Zusammenhang notwendigen geometrischen Werkzeuge sind Beiträge zur Algorithmik der Liniengeometrie, Kugelgeometrie, und anderer Gebiete der sogenannten `höheren Geometrie` zu erwarten. - Untersuchungen über algorithmisch zugängliche approximative Toleranzgebiete und testweise Implementierung von Fällen relevant für die geometrische Datenverarbeitung. - Studium der Minkowski-Summe (und ihrer Verallgemeinerungen) von Kurven und Flächen, und dies nicht nur im Hinblick auf Toleranzanalyse, sondern auch mit dem Gedanken an weitere Anwendungen, wie das Minkowski- Produkt in der komplexen Ebene und Stabilitätskriterien für Familien von Polynomen.

Ungenaue Daten sind in der angewandten und numerischen Mathematik allgegenwärtig. Die Probleme, die im Zusammenhang mit ihrer Behandlung entstehen, haben viel Interesse geweckt und zu entscheidenen Entwicklungen in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik geführt. Der Gegenstand des Forschungsprojekts Geometrische Mengen-Operationen und Toleranzanalyse im CAD ist ein gewisser Aspekt dieses Problemkreises, nämlich geometrische Datenunschärfen, die durch Toleranzzonen definiert sind. Dies ist eine Verallgemeinerung der Intervallarithmetik auf Dimensionen größer als eins. Abhängig von der Natur der gegebenen Daten und der Relationen zwischen ihnen ergeben sich interessante Problemstellungen. Wir betrachten Fehlerfortpflanzung durch implizite geometrische Zwangsbedingungen (die meist multivariat quadratisch sind) und beobachten, unter welchen Umständen eine Näherung erster Ordnung gewisse Fehlerschranken nicht übersteigt. Der Begriff der Toleranzzone wurde auf probabilistische Unschärfen ausgeweitet und ein Algorithmus zum Bestimmen von einhüllenden Verteilungsfunktionen auf mehrere Variable erweitert. Ein Schwerpunkt sind Toleranzzonen für Starrkörperbewegungen. Wir betrachten die Wirkung solcher Transformationen unter differentialgeometrischen Gesichtspunkten genauso wie vom Standpunkt der geometrischen Datenverarbeitung aus. Eine interdisziplinare Anwendung ist das Glätten von digitalen Höhendaten mit starren Fehlerschranken, die sich aus Genauigkeitsangaben in der Datenspezifikation ergeben, was eine Anwendung des Begriffs der Toleranzzone auf diskrete Spline-Approximation darstellt.