Parabolische Geometrien

Die Theorie der parabolischen Geometrien, die während der letzten Jahre entwickelt wurde, führt zu einer einheitlichen Beschreibung einer Vielzahl verschiedener geometrischer Strukturen (im Sinne der Differentialgeometrie). Dabei treten einerseits wohlbekannte Beispiele geometrischer Strukturen auf, andererseits führte die allgemeine Betrachtung auch zur Entdeckung neuer Strukturen. Viele dieser Strukturen hängen eng mit Anwendungen der Differentialgeometrie in anderen Bereichen der Mathematik, etwa in der komplexen Analysis und der geometrischen Theorie der Differentialgleichungen zusammen. Diese allgemeine Betrachtungsweise hat zur Entwicklung mehrerer Methoden zum Studium von parabolischen Geometrien geführt, die teilweise auch für die gut bekannten Strukturen neu sind. Hauptziel des Projektes ist das Studium von Anwendungen dieser neuen Methoden auf geometrische Probleme, sowohl für die bekannten, als auch für die "neuen" parabolischen Geometrien.

Die Theorie der parabolischen Geometrien liefert eine einheitliche Beschreibung für eine große Klasse sehr verschiedenartiger geometrischer Strukturen im Sinne der Differentialgeometrie. Im Rahmen des Forschungsprojekts wurden bedeutende Fortschritte, sowohl in der allgemeinen Theorie der parabolischen Geometrien als auch im Studium spezieller Beispiele solcher Strukturen erzielt. Ein wichtiges Ergebnis des Projekts, dass neue Forschungsrichtungen eröffnet, ist eine Anwendung darstellungstheoretischer Methoden in der Theorie von überbestimmten Systemen partieller Differentialgleichungen, die von Techniken für parabolische Geometrien inspiriert wurde. Eines der wichtigsten Beispiele einer parabolischen Geometrie stellt die konforme Geometrie dar. Die während des Projekts erzielten Resultate über konforme Geometrie haben enge Verbindungen zu aktueller Forschung über elliptische partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung, sowie zu aktuellen Entwicklungen (Holographie, AdS/CFT-Korrespondenz) in der theoretischen Physik.