D-Branes auf Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten

Die Stringtheorie ist ein Modell für eine vereinheitlichte Beschreibung aller Naturkräfte das von einer 10- dimensionalen Raum-Zeit-Struktur ausgeht. Schon kurz nachdem Einstein in seiner Allgemeinen Relativitätstheorie das gekrümmte Raum-Zeit-Kontinuum eingeführt hatte, versuchten Kaluza und Klein, den Elektromagnetismus durch das Postulat einer (extrem kleinen) fünften Dimensionen geometrisch zu erklären. Diese Vorstellung fand erst Jahrzehnte später in der Stringtheorie ihren natürlichen Rahmen. Die Entdeckung der D-branes und ihrer Bedeutung für das Verständnis nichtperturbativer Quanteneffekte brachte eine drastische Modifikation unserer Vorstellung von den kleinen unsichtbaren Dimensionen mit sich. D-branes sind räumlich ausgedehnte Lösungen der nichtlinearen Bewegungsgleichungen mit endlicher Energiedichte und können als Träger physikalischer Freiheitsgrade dienen, sodass die uns bekannten Naturgesetze dann nur auf einem Unterraum der 10-dimensionalen Raum-Zeit gelten, während auf anderen D-branes andere Kräfte wirken könnten. Es ist klar, dass die physikalischen Eigenschaften der D-branes dann entscheidenden Einfluss auf unser Verständnis der Naturkräfte haben. Konsistenzeigenschaften erfordern, dass die interne Raumgeometrie durch eine sogenannte Calabi--Yau Mannigfaltigkeit gegeben ist. Im vorliegenden Forschungsprojekt werden die Eigenschaften von D-branes auf solchen Hintergründen untersucht. Während man im Fall relativ flacher Räume dabei mit klassisch-geometrischen Konzepten das Auslangen findet, spielen bei großen Krümmungen und kleinen Volumina Quanteneffekte eine entscheidende Rolle. Insbesondere sind nichtperturbative Beiträge zum Potential der effektiven supersymmetrischen Eichtheorien und Stabilitätsgrenzen von physikalischem Interesse. Zur Klärung diese Probleme sollen String-Dualitäten (insbesondere die sogenannte Mirror-Symmetrie) verwendet werden, durch die eine Berechnung der exakten Quantengeometrie auf klassische Ergebnisse im dualen Modell zurückgeführt werden kann. Ein zweites wichtiges Werkzeug sind exakte Ergebnisse der konformen Feldtheorie, die an isolierten Punkten im Parameterbereich eines Modelles als Hinweis auf die Struktur der Quantengeometrie und als Test allgemeiner Konzepte und Ergebnisse herangezogen werden können. Als Ziel dieser Untersuchungen erwarten wir uns ein verbessertes Verständnis der physikalischen Eigenschaften von D-branes und der damit konstruierten String-Modelle.

Dieses Projekt befasste sich mit mehreren mathematischen Aspekten betreffend der Klassifikation von Stringtheorie-Kompaktifizierungen mit einer vorgegebenen Anzahl von Supersymmetrien, deren Vakuum-Struktur, und der Entropie schwarzer Löcher. Die Stringtheorie ist zur Zeit der vielversprechendste Kandidat für eine vereinigte Theorie aller fundamentalen Kräfte der Natur. In ihrer symmetrischsten Version, der supersymmetrischen Stringtheorie, ergeben quantenmechanische Konsistenzbedin-gungen eine zehndimensionale Raumzeit. Um zu einer vierdimensionalen Raumzeit zu gelangen, muß die Theorie auf einem sechsdimensionalen Raum kompaktifiziert werden. Die vierdimensionale Theorie soll aus Gründen der Einfachheit weiterhin supersymmetrisch sein. Diese Forderung engt die Möglich-keiten für den kompakten sechsdimensionalen Raum auf die sogenannten Calabi-Yau Räume ein. In diesem Projekt behandelten wir u.a. die Teilklassifizierung solcher Räume aus mathe-matischer Sicht und ihre Beziehung zu den Zuständen schwarzer Löcher in der entsprechenden physikalischen Theorie. Solche Räume können studiert werden, indem man die verschiedenen Möglichkeiten betrachtet, zweidimensionale Flächen, sogenannte Riemannsche Flächen, ohne Rand in sie einzubetten. Für diese Betrachtung wird nicht die volle Superstringtheorie benötigt, sondern man braucht nur einen Subsektor, die topologische Stringtheorie. Diese besitzt nicht den ganzen physikalischen Inhalt, aber ein Grossteil davon ist durch sie bestimmt, insbesondere hängt die Anzahl der physikalischen Zustände in dieser Theorie mit der Anzahl der Einbet-tungen einer Riemannschen Fläche in einen Calabi-Yau Raum zusammen. Diese Zahlen sind topologische Invarianten und von großem mathematischen Interesse. In der Physik hängen sie mit der Entropie supersymmetrischer schwarzer Löcher zusammen. Deshalb liefert das Studium der topologischen Stringtheorie Information über solche Räume, und umgekehrt. Wir haben sowohl existierende Techniken weiterentwickelt als auch die Klasse solcher Räume erweitert, für die diese Invarianten explizit berechnet werden können. Dasselbe kann im Prinzip für Einbettungen Riemannscher Flächen mit Rand gemacht werden. Das ist deutlich schwieriger, weil einerseits die Anzahl der Supersymmetrien mindestens halbiert wird, und andererseits trägt der Rand zusätzliche Information, die miteinbezogen werden muß. Er ist nämlich auf einem Unterraum des Calabi- Yau Raums, einer sogenannten D-brane, fixiert. In einem einfach Zugang haben wir Eigenschaften der D-brane wie die Abhängigkeit von der Größe des Calabi-Yau Raums untersucht. Mit den Methoden, die wir für die erste Frage entwickelt haben, haben wir Vorhersagen für die Anzahl solcher Einbettungen mit Rand erhalten.