Operatoren für Zeit/Frequenz-Analysis

Forschungsprojekt P 14485Operatoren für Zeit/Frequenz-AnalysenKarlheinz GRÖCHENIG26.06.2000 Man kann die abstrakte harmonische Analyse (AHA) als die Lehre von der Zerlegung großer, komplizierter Gebilde in kleine, leicht zu verstehende Grundbausteine sehen. Das klassische Kerngebiet von AHA ist die Theorie lokal kompakter abelscher (locally compact Abelian = Ica) Gruppen. Die Werkzeuge der modernen Ingenieursmathematik sind weitgehend konform mit der Grundphilosophie von AHA, im Sinne der Abbildung komplizierter praktischer Systeme auf Computer implementierbare Modelle, oft auch unter expliziter Verwendung der (diskreten) Fouriertransformation. Im Gegensatz zur theoretischen Physik, die sich traditionell durch intensiven Austausch von Problemen und Ideen mit AHA und reiner Mathematik im allgemeinen auszeichnet, bestehen zwischen den modernen Ingenieurswissenschaften, speziell der Elektrotechnik und AHA trotz des hohen Potentials nur wenige explizite, wissenschaftliche Interaktionen, und auch ein (sich voraussichtlich in den kommenden Jahren entwickelndes) Fach der "theoretischen Signalanalyse" ist wissenschaftlich noch nicht etabliert. Das grundsätzliche Ziel des vorgeschlagenen Projektes ist es, von mathematischer Seite die Basis für einen verstärkten Briickenschlag zwischen der ausgereiften Theorie der Ica Gruppen und exemplarischen Ingenieursanwendungen (vor allem aus der digitalen Signalverarbeitung) zu legen, indem angestrebt wird, einige in diesem Bereich grundlegende Fragestellungen in der "richtigen Allgemeinheit" und in der Sprache der AHA detailiert zu behandeln. Aufgrund der positiven Erfahrungen mit einer derartigen Forschungs-Strategie im Bereich des irregular sampling", wo ebenfalls nach einem detailierten Studium des theoretischen Grundlagen eine erfolgreich Umsetzung in Form von praktischen Algorithmen erfolgte (im Rahmen des FSP-Projektes S-7001-MAT) wird erwartet, dass auch im vorliegenden Fall auf der Basis der gewonnen Einsichten im Anschluß an dieses Projekt neue Anwendungen im Bereich der digitalen Signalverarbeitung möglich sein werden, die auf konventionellem Wege (wonach meist nur die gerade anstehende Probleme gelöst werden) kaum zu erzielen werden. Konkret sollen Operatoren (bzw. deren Stetigkeit bzgl. unterschiedlicher Normen) sowie Algebren von solchen linearen Operatoren untersucht werden, welche einerseits eng mit der (kontinuierlichen bzw. diskreten) Heisenberg- Gruppe und andererseits implizit in aktuellen Problemstellungen der Ingenieurswissenschaften vorkommen; namentlich beim Design von digitalen Filterbänken, bei der nichtparametrischen Identifikation von linearen zeitvarianten Systemen und der Gabor-Analyse. Basierend auf einer im Projekt zu entwickelnden rigorosen und vereinheitlichten Theorie sollen exemplarisch auch konkrete numerische Algorithmen für einen effizienten, approximativen symbolischen Kalkül implementiert werden. Die eigentliche Anwendung soll im Rahmen von anwendungsnahen Nachfolgeprojekten erfolgen.