Zufallsmatrizen und Quantenchaos

Forschungsprojekt P 14435Zufallsmatrizen und QuantenchaosHarald MARKUM08.05.2000 Heute glaubt man, dass die Quantenchromodynamik (QCD) die korrekte Theorie für die Quarks und Gluonen sei und deshalb sämtliche Erscheinungsformen der starken Wechselwirkung vom Quark-Einschluß bis zu den Kernkräften beschreiben kann. Dennoch sind wichtig grundlegende Eigenschaften der QCD wie gerade das Quark- Confinement nicht vollständig verstanden. Welche Rolle dabei die chaotische Dynamik der Teilchen spielt, ist eine seit Langem gestellte Frage. Eine zweite fundamentale Eigenschaft der QCD ist die spontane Brechung der chiralen Symmetrie der Quarks. Dabei handelt es sich um einen Effekt bei niedrigen Energien mit entscheidendem EinfluB auf die Massen der Hadronen (Pion, Proton .... ). Beide Eigenschaften stellen sogenannte nicht- störungstheoretische Phänomene dar, wo die Anwendung der Feynmanschen Störungstheorie wegen der starken Gluon-Kopplung nur begrenzt möglich ist. Als sehr erfolgreiche Methode für analytische und numerische Berechnungen hat sich die Formulierung der QCD auf einem vierdimensionalen Raum-Zeit-Gitter herausgestellt. Die Monte-CarloSimulation der Gitter-QCD liefert wichtige Informationen über die Quarks und Hadronen sowie ihre Wechselwirkung direkt aus den fundamentalen Grundgleichungen. Es waren die Gitter-Simulationen, welche bei hohen Temperaturen einen Phasenübergang zum Quark-Gluon- Plasma vorhergesagt haben, wo die Quarks als freie Teilchen vorliegen. Mit großem Aufwand wird danach bei den Experimenten am CERN und in Brookhaven gesucht. Analog erwartet man aus Gitter-Rechnungen die Wiederherstellung der chiralen Symmetrie oberhalb eine kritischen Temperatur von etwa 150 MeV. Mathematisch hängt das chirale Kondensat mit der Dichte der Eigenwerte des Dirac-Operators der Quarks am Grundzustand zusammen. Auf der Suche nach einem analytischen Ausdruck für den niederenergetischen Bereich des Dirac- Spektrums fand man heraus, dass die Random-Matrix-Theorie eine bemerkenswerte Methode zum Vergleich mit den kleinen Dirac-Eigenwerten der QCD und anderen Theorien liefert. Weiters stellte sich heraus, dass nicht nur die kleinen Eigenwerte sondern auch die Korrelationen benachbarter Eigenwerte des gesamten Spektrums komplexer physikalischer Systeme universellen Gesetzen gehorchen und ebenfalls durch Random-Matrix-Theorie beschrieben werden können. Dieser Sachverhalt wird in der Bohigas- Giannoni-Schmit-Vermutung formuliert, welche besagt, dass Systeme der klassischen Mechanik mit chaotischen Teilchenbahnen in der Quantenmechanik Eigenwert-Abstände mit einer Wigner-Verteilung besitzen. Obwohl ein mathematischer Beweis noch aussteht, wurde diese Vermutung, in allen Fällen bestätigt und stellt das einzige bekannte Kriterium für Quantenchaos dar. Eine faszinierende Frage ist der Zusammenhang von chaotischem Verhalten und dem Einschluß von Quarks in der QCD. Das Projektziel ist eine Klärung der Beziehung zwischen Temperatur- und chiralem Phasenübergang und Chaos- Ordnungs-Übergängen in Quantenfeldtheorien. Wir beabsichtigen eine Analyse der Eigenwerte des Dirac- Operators i) für kompakte Quantenelektrodynamik, ii) für die Quantenchromodynamik mit chemischem Potential und iii) für supersymmetrische Yang-Mills-Theorie am Gitter. Diese Theorien zeigen Brechung der chiralen Symmetrie und Confinement bei niedrigen Energien. Obwohl sie Gemeinsamkeiten besitzen, unterscheiden sie sich grundlegend, was ihre topologische Struktur, ihre Lagrange-Funktion und ihre globale Symmetrie betrifft. Es bedeutet eine Herausforderung, ihre verschiedenen Eigenwert-Spektren zu berechnen, mit analytischen Ergebnissen der Random-Matrix-Theorie zu vergleichen, und mögliche universelle Eigenschaften in ihrer chiralen Struktur nachzuweisen sowie das Auftreten von Quantenchaos.