Wahrscheinlichkeitstheorie und Kohomologie

Forschungsprojekt P 14379Wahrscheinlichkeitstheorie und KohomologieKlaus SCHMIDT08.05.2000 Ziel dieses Projekts ist es, kohomologische Methoden der Ergodentheorie auf gewisse Probleme in der Theorie der stochastischen Prozesse und der zugehörigen Zufallswanderungen anzuwenden, wie zum Beispiel Rekurrenz, Vertauschbarkeit und die Charakterisierung der `Tail` - Algebren. Frühere Anwendungen kohomologischer Methoden auf diesem Gebiet haben zu Rekurrenzbedingungen für stationäre Zufallswanderungen ohne Voraussetzungen über Unabhängigkeit oder Existenz von Momenten geführt, sowie zu sehr allgemeinen Vertauschbarkeitsergebnissen (die Verallgemeinerungen einer der beiden Richtungen des Satzes von de Finetti darstellen). Diese Vertauschbarkeitsresultate sind Spezialfälle von Aussagen über `Tail`-Algebren zweiseitiger stationärer Prozesse mit Werten in lokalkompakten abelschen Gruppen. Analoge Aussagen über nichtabelsche Gruppen gibt es bisher nur unter sehr speziellen Bedingungen (wie kompakte Konjugiertheitsklassen). Jetzt weiss man auch, dass die Verallgemeinerung auf nilpotente Gruppen möglich ist, aber der nächste Schritt (polyzyklische Gruppen) ist noch völlig unklar und soll eines der Themen des Projekts bilden. Ein weiteres Anliegen des Projekts wird die Untersuchung einseitiger gruppenwertiger Prozesse und ihrer `Tail`- Algebren bilden, wo die Situation viel komplizierter ist als im zweiseitigen Fall. Zu den Anwendungen derartiger Fragen gehören auch die Rekurrenz und Ergodizität von Horozyklen mit unendlichem invariantem Maß. Schließlich hoffe ich, dass dieses Projekt auch zu einem etwas besseren Verständnis einiger nichtstationärer Probleme führt (z.B. verstärkte Zufallswanderungen), aber hier darf man sich keine zu großen Hoffnungen auf konkrete Ergebnisse machen.

Ziel dieses Projekts war es, kohomologische Methoden aus der Ergodentheorie auf Fragen aus der Theorie der stochastischen Prozesse und der zugehörigen Zufallswanderungen anzuwenden, wie zum Beispiel Rekurrenz, Vertauschbarkeit, Charakterisierung von unendlich fernen Sigma-algebren (sogenannten `Tail`-Algebren), und gewisse Isomorphieprobleme von stochastischen Prozessen. Kohomologische Methoden haben den Vorteil, daß sie auch dann verwendet werden können, wenn die Zufallsvariablen keinerlei Integrabilitäts- oder Momentbedingungen erfüllen. In einer gemeinsamen Arbeit von Gernot Greschonig und mir konnten wir mit derartigen Methoden ohne jede zusätzliche Voraussetzung folgendes beweisen: es sei X(n), n=1, ein reeller ergodischer stationärer Prozeß und Y(n)=X(1)+...+X(n), n=1, die zugehörige Zufallswanderung. Wenn die Verteilungen der Folge Y(n)/n, n=1, nicht gegen unendlich divergieren, so gibt es eine relle Konstante c, für die die Zufallswanderung Y(n)-cn, n=1, rekurrent ist. Dieses Resultat löst ein seit etwa 20 Jahren offenes Problem und ist inzwischen in der internationalen Fachzeitschrift "Probability Theory and Related Fields" erschienen. Zwei weitere aus dem Projekt entstandene Arbeiten lösen ein Isomorphieproblem aus der mehrparametrischen Ergodentheorie (d.h. aus der Theorie räumlich ausgedehneter dynamischer Systeme mit mehrdimensionalen Symmetriegruppen). Dort stellte sich in einer Reihe grundlegender neuer Arbeiten heraus, daß sehr schwache Isomorphiebedingungen mancher derartiger Systeme überraschend starke Formen der Isomorphie zur Folge haben (sogennante "Isomorphism rigidity"). Siddhartha Bhattacharya und ich konnten zeigen, daß diese Form der "Isomorphie-Starrheit` auch für eine Klasse von Systemen gilt, die mit bisherigen Methoden nicht behandelt werden konnte.