Funktionalgleichungen und Iterationstheorie

Forschungsprojekt P 14342Funktionalgleichungen und InterationstheorieLudwig REICH08.05.2000 In diesem Forschungsprojekt sollen Probleme aus dem Gebiet der Funktionalgleichungen, insbesondere Funktionalgleichungen, die aus der Iterationstheorie stammen, untersucht werden. Die Forschungsarbeit verschiedenster Mitglieder des Instituts für Mathematik der Karl Franzens Universität in Graz bestätigt, daß diese Fragestellungen interessant und vielversprechend sind. Neben Iterationstheorie im Ring der gormalen Potenzreihen beziehen sich die Problemstellungen auf Anwendungen, algebraische Aspekte additiver Funktionen, vertauschbare Funktionen und Funktionalgleichungen von iterativem Typ. Bei den Anwendungen handelt es sich um Zusammenhänge zwischen Funktionslgleichungen und Gruppenaktionen, die sich aus der scheinbaren Bewegung der ``mittleren Sonne`` herleiten. Weiters sollen Derivationen von höherer Ordnung auf Stabilität untersucht werden, und die zerlegbaren Derivationen 2.Ordnung charakterisiert werden. Eine andere Fragestellung beschäftigt sich mit der Beschreibung aller additiven Funktionen, die mit einer vorgegebenen Klasse rationaler Funktionen vertauschbar sind. Insbesondere sollen reell- und komplexwertige Funktionen, die auf der reellen Achse bzw. der komplexen Ebene definiert sind, untersucht werden. Eine Situation ähnlich zu der, die zwischen der Schröderschen und der Präschröderschen Gleichung besteht, soll für die Gleichung analysiert werden. Die weiteren Fragestellungen stammen alle aus der Iterationstheorie. Dazu zählt z.B. die explizite Angabe von Lösungen der Translationsgleichungen im Ring der formalen Potenzreihen. Weiters Lösungen der Aczel- Jabotinsky Differentialgleichungen im höher dimensionalen Fall. Dann versuchen wir eine covariante Einbettung der linearen Funktionalgleichung in eine Familie von linearen Gleichung en anzugeben. Dies führt zu Verallgemeinerungen der Schröderschen Reihen. Auch sollten Lösungen der inhomogenen Cauchyschen Funktionalgleichung und Zusammenhänge mit der Stabilität additiver Funktionen behandelt werden. Ein weiteres Forschungsvorhaben ist die Angabe von asymptotischen Entwicklung für die Iterierten einer gegebenen Funktion.

Das Ziel dieses Projektes bestand darin, eine möglichst allgemeine und zugleich möglichst vollständige mathematische Theorie für verschiedene Typen von Funktionalgleichungen zu entwickeln, die mit Iterationsproblemen oder Gruppenaktionen in engem Zusammenhang stehen. Funktionalgleichungen sind Relationen zwischen Funktionen (Abbildungen), durch die einige dieser Funktionen (die unbekannten) bestimmt werden sollen. Es gibt zahlreiche und bedeutsame Anwendungen von Funktionalgleichungen in der Physik, der Informationstheorie und in jüngerer Zeit in den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften. Viele Probleme aus der Geometrie können in der Sprache der Funktionalgleichungen ausgedrückt werden, und zahlreiche berühmte Funktionen können als Lösungen von solchen Gleichungen charak- terisiert werden. Die Iterationstheorie is die Theorie der Iterierten (Komposition) von Selbstabbildungen einer Menge und deren Verallgemeinerungen, den Flüssen. Sie ist ein Teil der Theorie dynamischer Systeme. Einerseits gibt es enge Beziehungen zwischen Iterationsproblemen und gewissen Funktionalgleichungen (wie der Translationsgleichung und der Gleichung der iterativen Wurzeln von Babbage). Andererseits werden Methoden und Konzepte der Iterationstheorie oft zum Lösen von Funktionalgleichungen (wie der linearen Funktionalgleichung, oder den Gleichungen vom Schröderschen Typ) verwendet. Im ersten Teil der Projektes beschäftigten wir uns mit dem Problem der kovarianten Einbettung eine linearen Funktionalgleichung bezüglich einer Iterationsgruppe (Fluß). Das ist eine natürliche Verallgemeinerung des gewöhnlichen Einbettungsproblems einer gegebenen Abbildung in einen Fluß. In unserer Situation wir die Abbildung durch eine lineare Funktionalgleichung zusammen mit der Menge ihrer Lösungen ersetzt. Wir lösen dieses Problem vollständig im Ring der formalen Potenzreihen, wobei ein System bestehend aus zwei Funktionalgleichungen (den Cozykelgleichungen) eine entscheidende Rolle spielt. Eine dieser Cozykelgleichungen kommt auch in anderen mathematischen Problemen (Automaten- Theorie und Theorie stochastischer Prozesse) vor. Der zweite Teil des Projekts behandelt Zusammenhänge zwischen Gruppenaktionen (be-kannt aus der Gruppentheorie, Kombinatorik und Geometrie) und Funktionalgleichungen. Unter diesem Geschtspunkt untersuchten wir die linear-affine Funktionalgleichung (sie kommt aus der Theorie des Messens und aus Anwendungen in den Wirtschaftswissen-schaften) unter sehr allgemeinen Voraussetzungen und die sogenannte Gleichung der Mittleren Sonne (aus der mathematischen Astronomie). Die zweite Gleichung wurde zusätzlich zur abstrakten Gruppenaktionen auch für die natürliche Aktion von Matrixgruppen, insbesondere der Gruppe der Rotationen des dreidimensionalen Raumes untersucht.