Optimale Kontrolle für Systeme mit Unsicherheiten

Forschungsprojekt P 13706Optimale Kontrolle für Systeme mit UnsicherheitenFranz KAPPEL28.06.1999 Bei der mathematischen Modellierung von Prozessen sind vielfach die folgenden Problemstellungen typisch: * Eingangsgrößen und/oder Parameter variieren in nicht vorhersehbarer Weise, sind jedoch beschränkt mit mehr oder weniger engen Schranken, die bekannt sind. * Die Ausgangsgrößen sollen vorgegebene Werte innerhalb sehr enger Schranken einhalten. Beispiele für derartige Prozesse werden durch Produktionsprozesse gelietert, wo die Zusammensetzung der Rohmaterialien vielfach innerhalb weiter Grenzen variieren, die Produkte jedoch sehr strikten Qualitätsanforderungen genügen müssen. Insbesondere diese Forderung bedeutet, daß stochastischeModelle im allgemeinen zur Beschreibung dieser Prozesse nicht geeignet sind. In dem beantragten Projekt wird der Tatsache, daß nur Schranken für die Parameter bzw. Eingangsgrößen bekannt sind, bei der Entwicklung von Kontrollaigorithmen oder Algorithmen zur Parameteridentifizierung dadurch Rechnung getragen, da"s Parameter und Eingangsgrößen in vorgegebenen Mengen enthaften sein müssen. Dies bedeutet, daß die entwickelten Algorithmen das gewünschte Ergebnis für eine vorgegebenen Menge von Systemen liefern muß.

1. Mengenwertige Identifikation, die sich an Kontrollkriterien orientiert. Zu dem Problem existieren zwei Zugänge, ein stochastischer und einer, der Ungleichungen liefert. Vom Ergebnis her liegt der Unterschied darin, dass im ersteren Fall als Resultat ein Vektor erhalten wird und im zweiten Fall, eine konvexe, kompakte Menge. Mengenwertige Schätzungen können durch ein skalares Maß, wie zum Beispiel, Volumen, Durchmesser, usw. charakterisiert werden. Ein derartiges skalares Kriterium liefert nur eine geometrische Aussage. Liegt ein Ziel für die Kontrolle vor, so sollte sich die Identifikation an dem Kontrollkriterium orientieren, um eine mengenwertige Schätzung zu liefern, die im Hinblick auf das Kontrollziel optimal ist. Im Falle linearer Systeme wurde gezeigt, dass die optimalen Schätzungen für quadratische Kontrollkriterien in mengen-wertigen Schätzungen mit minimalen Durchmesser resultieren. Andere Kontrollkriterien können mengenwertige Schätzungen verschiedenster Form liefern. Der entwickelte Algorithmus für mengenwertige Schätzungen unter Berücksichtigung von Kontrollkriterien berechnet zu diskreten Zeitpunkten eine Kontrolle, die im Hinblick auf das quadratische Kontrollkriterium optimal ist. 2. Invariante Mengen und ihre Anwendungen auf Probleme der optimalen Kontrolle. Hier wird die Theorie invarianter Mengen weiter entwickelt und auf die Analyse und Synthese von Kontrollproblemen angewandt, insbesondere wurden vorhandene Resultate für lineare Kontroll-systeme auf eine Klasse von Modellen erweitert, die beschränkte nicht lineare Komponenten ent-halten. Grob gesprochen sind in solchen Modellen lineare Terme mit skalaren nicht linearen "Sätti-gungstermen" verknüpft. Die betrachtete Klasse von Regelstrecken ist eine natürliche Verallge-meinerung der Klasse der "Lurje-Systeme". Es wird vorausgesetzt, dass die linearen Parameterwerte für die linearen Terme des Modells unbekannt und nur mengenwertige Schätzungen gegeben sind. 3. Lösung des Verfolgungsproblems für mengenwertige Parameterschätzungen. Die Synthese der Kontrollen für Verfolgungsprobleme, welche grundsätzlich schwierig ist, wird noch schwieriger, weil die Messungen der Zustände der Spieler durch Störungen beeinflußt werden. In der Literatur wird dieses Problem üblicherweise unter der Annahme analysiert, dass die Beob-achtungsfehler Zufallsvariable sind, die von der Systemdynamik unabhängig sind und deren Wahrscheinlichkeitsparameter bekannt sind. Die Annahme über die statistischen Eigenschaften der Beobachtungsfehler ist jedoch im allgemeinen nicht gerechtfertigt, insbesondere dann nicht, wenn die Störung von den Zustandsvariablen abhängen, dies trifft insbesondere dann zu, wenn Entfernungsmessungen im Luftraum mit Radio-Telemetrie durchgeführt werden bzw. unter Wasser mit akustischen Instrumenten, weil die Meßfehler in diesen Fällen mit dem Abstand zwischen den Spielern zunehmen. Die Forschungsarbeiten setzen Untersuchungen von V.M. Kuntsevich und B.N. Pschenitchnyi fort und verwenden deren Definitionen und Resultate. Das Ergebnis ist eine elegante, analytische Lösung des Verfolgungsproblemes für zwei steuerbare, sich bewegende Strecken, die mit Unsicherheiten behaftet sind, die sowohl die Kontrollen des Flüchtenden als auch die Beob- achtungen betreffen und vom Zustand des Verfolgers und Flüchtenden abhängen. Insbe- sondere wird das Verfolgungsproblem für den ungünstigsten Fall gelöst, wo der Flüchtende optimale und für den Verfolger unbekannte Kontrollen aus der gegebenen beschränkten Menge wählt und sich die Beobachtungsfehler für den Verfolger am ungünstigsten auswirken. 4. Entwicklung der Matlab-Toolbox Die entwickelte Toolbox ist ein Nachfolger der Matlab-Toolbox für die Synthese adaptiver Kontrollprobleme (1996). Sie besitzt eine Reihe von neuen Funktionalitäten infolge der Implementierung neuer Kontrollkriterien und weist beträchtliche Verbesserungen im Hinblick auf polyederwertiger Schätzungen auf. Die Toolbox kann sowohl für Unterrichts-, als auch Entwicklungsaufgaben verwendet werden.