Nichtlineare Stabilitätstheorie im Ingenieurswesen

Dieses Forschungsvorhaben ist als Fortsetzung des FWF Projektes P10705-MAT, in dem die mathematisch wohletablierten Methoden der lokalen äquivarianten Verzweigungstheorie auf wichtige Ingenieursprobleme angewandt wurden, geplant. Wiederum liegt der Schwerpunkt des neuen Projektes auf der Umsetzung von Methoden der Nichtlinearen Theorie der Dynamischen Systeme, die mathematisch mehr oder weniger wohletabliert sind, in die praktische Ingenieursanwendung. Hierbei werden die drei folgenden Gebiete vorgeschlagen: 1. Dimensionsreduktion mit Hilfe verbesserter Galerkinmethoden 2. Anwendung der Conley Index Theorie zum Nachweis von chaotischem Systemverhalten 3. Stabilitätsuntersuchung relativer Gleichgewichtslagen unendlich dimensionaler Hamiltonscher Systeme Anwendungen dieser Konzepte und Methoden werden für zwei wichtige technische Systeme, nämlich für verkabelte Satelliten (tethered satellite systems) und für flüssigkeitsdurchströmte Schläuche gegeben. Mit diesen beiden Anwendungen werden alle drei Gebiete abgedeckt. Diese verkabelten Satellitensysteme bei denen zwei oder mehrere Satelliten durch bis zu 100 km lange dünne Kabel verbunden werden, stellen ein vielversprechendes neues Konzept der Weltraumerforschung dar. Im Projektteil Dimensionsreduktion werden zur Vergrößerung des zulässigen Parameterbereiches gegenüber der Zentrumsmannigfaltigkeitstheorie Galerkinverfahren eingeführt, wobei eine wesentliche Verbesserung der klassischen linearen Galerkinreduktion mittels der Karhunen Loeve Methode und der Inertialen Mannigfältigkeitsapproximation erzielt wird. Jüngste mathematische Forschungen zeigen, daß mittels der Conley Index Theorie ein Algorithmus konstruiert werden kann, der einen mathematisch sauberen Nachweis von chaotischem Systemverhalten bei Systemen erlaubt, bei denen andere Methoden, wie etwa die Melnikovmethode, nicht mehr anwendbar sind. Die Beurteilung der Stabilität relativer Gleichgewichtslagen unendlich dimensionaler Hamiltonscher Systeme ist ein sehr kompliziertes aber in der Untersuchung der Lagestabilität von Satelliten mit flexiblen Teilen (Antennen, Kabeln) sehr wichtiges Gebiet. Dabei ist es notwendig eine geeignete Kombination von analytischen (Energie- Drall-Methode) und numerischen Verfahren zu finden um zu scharfen und (damit praktisch brauchbaren Stabilitätsaussagen zu kommen.

Das Ziel des Projektes P13131-MAT, war in Fortführung der drei vorangegangenen FWF-Projekte P10705-MAT, P7003 und P5519 die Verfügbarmachung von wichtigen Konzepten und Resultaten aus der Angewandten Mathematik in den Gebieten der Nichtlinearen Stabilitätstheorie und der Theorie der Dynamischen Systeme für praktische Ingenieursanwendungen. In Projekt P13131-MAT wurden schwerpunktmäßig die drei folgenden mathematischen Konzepte bearbeitet: 1. Methoden zur Dimensionsreduktion. 2. Chaotische Dynamik. 3. Stabilitätsuntersuchung relativer Gleichgewichtslagen symmetrischer Hamiltonscher Systeme. Diese mathematischen Konzepte wurden für die ingenieursmäßige Anwendung an Hand zweier wichtiger technischer Systeme aufbereitet: Flüssigkeitsdurchströmte Balken, die als Modellproblem der Verzweigungstheorie und der selbsterregten Schwingungen angesehen werden können. Fesselsattelitensysteme, die für eine mittelfristige Mission als Hamiltonsche Systeme modelliert werden können. Mathematisch ist es wohlbekannt, dass oft unendlich dimensionale dynamische Systeme, selbst wenn ihre Dynamik sehr kompliziert (chaotisch) ist, in ihrem asymptotischen Verhalten durch niedrig endlichdimensionale Systeme gut beschrieben werden können. Um diese wichtige Eigenschaft Ingenieuren zugänglich zu machen wurde am Beispiel des flüssigkeitsdurchströmten Balkens die Dimensionsreduktion mittels linearer (Proper Orthogonal Decomposition) und nichtlinearer (Approximate Inertial Manifold) Galerkin Methoden durchgeführt. Die wichtige Frage des Zusammenhanges von chaotischen Verhalten dynamischer Systeme mit den statistischen Eigenschaften eines dynamischen Prozesses wurden im Buch: "Chaos and Chance" von A. Berger angesprochen und in einer für Ingenieure anwendbaren Weise behandelt. Die Motivation zur Untersuchung des Stabilitätsverhaltens von relativen Gleichgewichtlagen in symmetrischen Hamiltonschen Systemen erwuchs in natürlicher Weise aus der Beschäftigung mit Projekten der ESA und INTAS über die Dynamik von Fesselsatelliten, an denen eine Gruppe aus dem Institut für Mechanik der TU-Wien befasst war. Fesselsatellitensysteme bestehen aus zwei oder mehreren Satelliten, die durch dünne bis zu 100 km lange Kabel miteinander verbunden sind und sich im Orbit um die Erde befinden. Für solche Systeme ist eine praktisch wichtige Frage jene nach der Stabilität von trivialen und nichttrivialen relativen Gleichgewichtslagen. Mathematisch ausgedrückt stellt eine relative Gleichgewichtslage eine Gleichgewichtslage in einem mit der Symmetriegruppe mitbewegten Koordinatensystem dar. Wegen der Symmetrie bleiben Impulsgrößen des Systems erhalten und damit wird die Untersuchung komplizierter als für nichtsymmetrische Hamiltonsche Systeme. Die hierfür geeignetste Methode ist die Reduced Energy Momentum Method (REMM), die in der Angewandten Mathematik entwickelt wurde. Während des Projektes wurden von unserer Gruppe einige Arbeiten veröffentlicht, in denen praktisch relevante Probleme behandelt wurden. Weiters wurden in einem Tutorialpaper die komplizierten mathematischen Konzepte (Lie-Gruppen, symplektische Geometrie), die zur Anwendung der REMM notwendig sind, in einer für Ingenieure verständlichen Weise erklärt.