Regularisierung für Kurven- u. Oberflächendarstellungen

Viele relevante Probleme in der Praxis sind sogenannte inverse Probleme, d.h. Probleme, bei denen Ursachen für einen gewünschten oder beobachteten Effekt berechnet werden. Neben linearen Problemen, wie z.B. das Entrauschen in der Signal- und Bildverarbeitung, tauchen in der Anwendung häufig nichtlineare Probleme auf, wie z.B. bei der Identifikation von Parametern. Die mathematische Formulierung dieser Probleme führt zu "schlecht-gestellten" Problemen, d.h., ihre Lösung ist instabil bei Datenstörungen. Ist die mathematische Theorie linearer "schlecht-gestellter" Probleme intensiv studiert worden, so gibt es noch immer viele offene Fragen im nichtlinearen Fall. Bei vielen praktischen Anwendungen, besonders bei der Signal- und Bildverarbeitung sowie der Identifikation von Parametern, ist man an unstetigen Lösungen interessiert. Mittels Regularisierungsmethoden wird Stabilität typischerweise erreicht, indem man fordert, daß die approximierenden Lösungen Glattheitsbedingungen erfüllen müssen. Solche Verfahren liefern i.a. keine guten Ergebnisse für unstetige Lösungen. Eine Regularisierungstechnik, die zufriedenstellendere Ergebnisse liefert, ist "bounded variation regularization". Tatsächlich erfolgt aber die numerische Realisierung durch Modifikationen, die der ursprünglichen Idee, Unstetigkeitsstellen effizient zu lokalisieren, entgegenwirken. Darüber hinaus kann die Konvergenz der entsprechenden regularisierten Lösungen nur in einer Lp -norm garantiert werden. Kürzlich wurde vom Antragsteller (gemeinsam mit O. Scherzer) ein neuer Zugang entwickelt, bei dem unstetige Lösungen gleichmäßig approximiert werden können. Bei dieser Methode werden Funktionen als parametrisierte Kurven interpretiert. In diesem Projekt wollen wir diesen Zugang auf nichtlineare Probleme und insbesondere auf zwei-dimensionale Probleme erweitern. Dabei müssen folgende Fragen beantwortet werden: Wie soll die Darstellung durch Flächen erfolgen? Welche Gebiete von Unstetigkeitsstellen können effizient durch schnelle numerische Algorithmen realisiert werden? Wie schnell wird die Konvergenz der regularisierten Lösungen in der Nähe der Unstetigkeitsstellen und davon entfernt sein? Das Projekt wird also sowohl theoretische Forschung als auch intensive numerische Berechnungen umfassen.