Kryptographische Anwendungen verallgemeinerter Lucas-Folgen

Die wachsende Bedeutung elektronischer Informations- und Kommunikationssysteme in den verschiedensten Bereichen unserer Gesellschaft hat eine große Anzahl neuer Sicherheitsprobleme und Bedürfnisse aufgeworfen. Insbesondere haben verzweigte Rechnersysteme, vernetzte Datenbanken und neue Anwendungen in der Telekommunikation die Gefahr der Offenlegung von vertraulichen Daten an Unbefugte oder die Verfälschung von Daten hervorgerufen. Viele dieser Probleme lassen sich mit Hilfe von Verfahren der modernen Kryptologie lösen. Dabei werden häufig zufällige, große Primzahlen mit speziellen Eigenschaften als Parameter benötigt. Die meisten der heutigen Methoden zur Generierung großer Primzahlen basieren auf Verallgemeinerungen des "Kleinen Satzes von Fermat". Allerdings besteht bei vielen probabilistischen Primzahltests die Gefahr, eine sogenannte "Pseudoprimzahl", das ist eine zusammengesetzte Zahl, die sich ähnlich einer Primzahl verhält, nicht als solche zu erkennen. Verwendet man aber in einem Kryptosystem anstelle einer Primzahl eine zusammengesetzte Zahl, zu kleine Primzahlen oder "schlecht gewählte" Primzahlen als Parameter, so kann es passieren, daß das System für einen Angreifer zu brechen ist oder nicht korrekt arbeitet. Im beantragten Forschungsprojekt sollen die folgenden Probleme untersucht werden: Untersuchung der zahlentheoretischen, algebraischen und arithmetischen Eigenschaften der verallgemeinerten Lucas-Folgen sowie der mit ihnen assoziierten Polynome, Analyse und Weiterentwicklung von Primzahltests in der Public-key Kryptographie, Klassifikation und Untersuchung der Eigenschaften verschiedener Pseudoprimzahlen, Kryptoanalyse und Weiterentwicklung von kryptographischen Algorithmen, welche auf verallgemeinerten Lucas- Folgen beruhen, Studium der Struktur, Eigenschaften und Größe von Primzahlparametern zur Generierung sicherer, auf den Lucas- Folgen basierender Kryptosysteme.