Nicht-kategorische Theorien in den Wissenschaften

Argumente bezüglich Kategorizität, d.h., Argumente, welche zeigen, dass zwei Modelle einer axiomatischen Theorie isomorph sind, werden in der gegenwärtigen Philosophie weitläufig diskutiert. Dabei wird oft angenommen, dass die Existenz von nicht-isomorphen Modellen uns jegliche Rechtfertigung für den Glauben an den objektiven und verständlichen Charakter einer Theorie raubt. Diese Annahme gründet sich in der Idee, dass Nicht-Kategorizität eine Unbestimmtheit von Referenz oder noch schlimmer sogar eine Unbestimmtheit von Wahrheitsbedingungen zur Folge hat, was als ein unüberwindbares Hindernis für Verständnis und Objektivität angesehen wird. Im Gegensatz dazu haben Mathematiker wie Zermelo zu Beginn des 20. Jahrhunderts vorgeschlagen, dass Nicht-Kategorizität nicht als Mangel, sondern als Vorteil von axiomatischen Theorien aufgefasst werden sollte, weil sie die Allgemeingültigkeit und den Bereich der Anwendbarkeit erhöht und die Weiterentwicklung der Theorie fördert. In der Tat hätte beispielsweise die Nichtstandardanalysis nicht entwickelt werden können, wenn die Nicht-Kategorizität der reelen Analysis erster Ordnung als Mangel angesehen worden wäre. Dieses Projekt beabsichtigt, die epistemologischen und metaphysischen Vorzüge von nicht-kategorialen Theorien in der Mathematik, der Grundlagenphysik und der Logik zu untersuchen. Diese Untersuchung beinhaltet drei Fallstudien, mittels welchen darauf abgezielt wird, neue und unerwartete Aspekte logischer Gültigkeit, mathematischen Verständnisses und physikalischer Objektivität zu enthüllen. Dabei wird versucht, Einsichten von Zermelo und anderen einzubeziehen, um auf diesen aufzubauen und gleichzeitig eine solide Grundlage gegen die (bei Philosophen und Logikern heutzutage immer noch weit verbreitete) Behauptung, dass Nicht-Kategorizität einen Mangel von axiomatischen Theorien anstelle eines Vorteils darstellt, zu liefern. Die Betrachtung von nicht-kategorischen logischen Systemen führt zu einer Verallgemeinerung des Begriffs der logischen Gültigkeit, in einer Art und Weise welche hilft, bekannte Gegenbeispiel zum Modus Ponens zurückzuweisen. Weiters wird dadurch die Auffassung korrigiert, dass logische Konsequenz in der formalen Struktur der physischen Realität begründet werden kann. Darüber hinaus wird das Projekt den vermeintlichen Zusammenhangs zwischen algebraischem Abschluss und mathematischem Verständnis untersuchen und durch die Rechtfertigung des Erklärungsgehalts von Beweisen in nicht-kategorischen mathematischen Theorien einen neuen Ansatz zum mathematischen Verständnis entwickeln. Schließlich wird das Projekt die modalen Implikationen von nicht-kategorialen physikalischen Theorien wie der Algebraischen Quantenfeldtheorie untersuchen und eine possibilistisch-strukturalistische Auffassung der Grundlagenphysik, d.h. eine Auffassung, welche Modalität als nicht-reduzierte mögliche Welten versteht, entwickeln. Durch das Hervorheben und die Klärung von Nicht-Kategorizität für das Erreichen dieser Resultate schlägt das Projekt einen vollkommen neuen Weg ein.

Das Projekt konzentrierte sich auf das Problem der Kategorizität für Systeme der Logik, Arithmetik und Algebra sowie für physikalische Theorien wie die Quantenmechanik. Die Forschungsergebnisse liefern ein besseres Verständnis des semantischen Verhaltens logischer Operatoren in nichtklassischen Systemen wie die positive Logik und Quantenlogik, sowie der Art der Annahmen, die in klassischen Theoremen zur Kategorizität algebraischer Theorien und in den neusten Versuchen die Kategorizität der Arithmetik zu beweisen. Sie enthüllen auch die Implikationen der Nichtkategorizität der Quantenlogik für metaphysische Ansichten als die modal-monistische Reduktion der physischen Möglichkeit auf metaphysische Kompatibilität mit den Naturgesetzen. Schließlich zeigen die Forschungsergebnisse, dass bisher zugelassene Gründe für die Annahme, dass die Quantenmechanik eine kategorische Theorie ist, verworfen werden müssen und dass die Quantenmechanik aus modelltheoretischer Sicht keine vollständige Theorie ist. Diese Ergebnisse wurden auf internationalen Konferenzen, Workshops, Kolloquien und Seminaren verbreitet. Im Juni 2018 und Mai 2019 wurden an der Gastinstitution in Salzburg zwei internationale Workshops zu diesen Themen organisiert.