Arithmetische Eigenschaften von Mengen mit kleiner Basis

Die Goldbachsche Vermutung besagt, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe von zwei Primzahlen geschrieben werden kann. Anders ausgedrückt, sind die Primzahlen eine additive Basis der geraden Zahlen größer als 2. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts konnten Shnirelmann, Linnik und Mann eine Reihe Probleme mit dem Konzept der additiven Basen angehen, so dass diese additiven Basen auch ein eigenes Studienobjekt wurden. Es scheint, dass die behandelten Mengen jeweils unendlich viele Elemente hatten, bis zu einer Arbeit von Erdös und Newman (1976). Erdös und Newman studierten nun additive Basen von endlichen Mengen. Sie fragten nach der effizientesten Methode eine Menge S durch eine Summe von einer anderen Menge A mit sich selbst zu überdecken. Hierbei soll A möglichst wenige Elemente enthalten. Die kleinste solche Menge heißt minimale Basis, und ihre Größe bekommt man nicht gut in den Griff. Es gibt zahlreiche Arbeiten von Erdös und seinen Koautoren über additive Basen, aber die Fragen von Erdös und Newman wurden kaum aufgegriffen. In diesem Projekt wollen wir diese Lücke in der Fachliteratur systematisch schließen, und Mengen, die in der Summenmenge von kleinen Basismengen liegen, studieren. Weiterhin erwarten wir, dass ein besseres Verständnis von Mengen, die eine kleine additive Basis haben, Anwendungen bei anderen offenen Problemen in der additiven Zahlentheorie und auch in der diskreten Geometrie hat. Solche Mengen kommen z.B. auch bei dem diskreten Logarithmus vor, der bei zahlreichen modernen Verfahren der Kryptographie verwendet wird. Wir erwarten, dass die Größe einer minimalen Basis (bzw. wie effizient eine Menge S durch andere Mengen überdeckt werden kann) uns subtile Information über die innere Struktur der Ausgangsmenge S gibt. In der arithmetischen Kombinatorik werden ähnliche Phänomene derzeit untersucht, man weiß z.B.: eine Menge kann nicht gleichzeitig eine arithmetische und eine gepometrische Progression sein. Wir wollen diese Intuition der arithmetischen Kombinatorik für das Problem der additiven Basen nutzen. Die verwendeten Methoden kommen aus der arithmetischen Kombinatorik, bzw. sind analytischer, algebraischer und zahlentheoretischer Natur.