Funktionalungleichungen in Kinetischer Gastheorie

Viele wichtige Vielteilchenmodelle in der Mathematik, der Physik und in Anwendungen modellieren das Verhalten von Gasen, insbesondere von verdünnten Gasen. Für solche Gase ist das Kac-Modell ein einfaches Modell, das immer noch viele der interessanten Eigenschaften und Herausforderungen von komplizierteren Modellen besitzt. Eines der interessantesten Probleme bezüglich des Kac-Modells ist die Untersuchung, wie schnell ein Gaszustand zum Gleichgewichtszustand konvergiert. In meiner Arbeit plane ich diese Untersuchung weiterzubringen, indem ich das Verhalten der Entropie betrachte. Hierbei ist die Entropie eine Größe, die die Unordnung im System misst. Weiterhin besteht die Hoffnung auf diese Weise Ergebnisse zu erzielen, die von der Anzahl der Teilchen unabhängig sind. Damit wäre es möglich Aussagen über das durschnittliche Verhalten von Teilchen zu machen. Für dieses Problem gibt es verschiedene Möglichkeiten: 1. Mit Methoden aus der Untersuchung des Transportproblems kann man neue Ungleichungen bezüglich der Entropie innerhalb des passenden Energieniveaus finden. 2. Der Zustand, in dem einige wenige Teilchen sehr viel kinetische Energie besitzen, während die übrigen Teilchen fast keine besizten, scheint eine langsame Konvergenz zum Gleichgewichtszustand zu erzeugen. Eine Möglichkeit wäre dies mathematisch zu quantifizieren und nach einer Methode zu suchen, dieses auszuschließen. 3. In der Arbeit von Kac ist ein bedeutender Teil die Untersuchung der fast statistischen Unabhängigkeit von Teilchen. Dies wurde für dieses Problem noch nicht ausgenutzt, so dass ich vorschlage, dies einzubeziehen und nach geeigenten quantitativen Versionen zu suchen. Die Idee, die Entropie zur Konvergenzuntersuchung zu benutzen, ist als Cercigani-Vermutung bekannt und nicht neu. Allerdings scheint es, die Beziehung zwischen dem Vielteilchensytem und einer statistischen Beschreibung gut zu beschreiben. Viele der geometrischen Unterschiede zwischen der Sphäre konstanter Energie und dem kompletten Raum unter einer Gauß-Verteilung scheinen auch beim Kac-Modell vorhanden zu sein. Diese Beziehung wird in der Forschung Äquivalenz der Ensembles genannt. Jeglicher Fortschritt in diesem Gebiet sollte daher auch generelle Erkenntnisse, die über das konkrete Problem hinausgehen, beinhalten. Die oben vorgeschlagenen Methoden beinhalten neue Ansätze, die auf das ursprüngliche Problem zurückgehen und die Geometrie des Problems berücksichtigen. Diese wurden bisher noch nicht untersucht und ich bin überzeugt, dass sie einen großen Einfluss haben werden. An diesem Problem, das sich so leicht und anschaulich erklären lässt, haben kürzlich viele berühmte Mathematikern gearbeitet. Dabei sind neue Hilfsmittel und Techniken sowie Verbindungen zu anderen mathematischen Teilgebieten entdeckt worden. Daher ist jetzt die perfekte Zeit an dieser Vermutung weiterzuarbeiten und den Einfluss auf das gesamte Gebiet zu sehen.

Ziel dieses Projektes war es, in einem prominenten Teilchenmodell die Konvergenz gegen eine Ruhelage zu untersuchen. Dabei sollten Ansätze aus dem Bereich Optimaler Transport, neue Ideen und Erkenntnisse hinsichtlich des asymptotischen Verhaltens der Teilchen, sowie die Identifikation problematischer Zustände, welche die Ursache der meisten Schwierigkeiten bei dieser Fragestellung sind, verwendet werden. Es wurde schnell klar, dass all diese Punkte zusammenhängen und daher parallel behandelt werden müssen. Es konnten erste richtungsweisende Resultate erzielt werden. Insbesondere wurden relevante Größen (Entropie, Disspiation, Energie, Momentum), deren Abhängigkeit von der Anzahl der Teilchen sowie deren Einfluss auf problematische Zustände identifiziert. Offen bleibt jedoch die Frage, ob diese in Einklang mit der Dynamik der zugrunde liegenden Prozesse stehen. Die Komplexität dieses Problems veranlasste mich dazu, weitere Zusammenhänge auf und insbesondere zwischen den Gebieten funktionaler Ungleichungen, dem Langzeitverhalten von Lösungen von Evolutionsgleichungen sowie der Wahrscheinlichkeitstheorie zu untersuchen. So konnte ich im Zuge dieses Projekts fünf konkrete Fragestellungen, die allesamt eng mit dem oben Genannten zusammen hängen, lösen. In Zusammenarbeit mit Anton Arnold und Tobias Wöhrer habe ich mich mit der Fokker-Planck-Gleichung beschäftigt. Diese spielt eine besonders wichtige Rolle bei der Berücksichtigung von Weißem Rauschen. Wir haben gezeigt, was man noch tun kann, falls die üblichen Methoden für die Konvergenz gegen eine Ruhelage (die ident im Teilchenmodell zur Anwendung kommen) versagen. Gemeinsam mit Jonathan Ben Artzi habe ich den Zusammenhang zwischen den geometrischen (funktionalen) Ungleichungen und den spektralen Eigenschaften des Operators, der dem Fluss zugrunde liegt, behandelt. Diese Ungleichungen sind intrinsisch für das gegebene Problem, eng mit dessen mathematischen Aspekten verknüpft und treten beispielsweise im Teilchenmodell auf. Im Speziellen haben wir den Fall betrachtet, dass der Operator zwar keine invarianten Richtungen (Eigenvektoren) aufweist, sehr wohl jedoch verwischte, beinahe invariante Richtungen (ein stetiges Spektrum). Zusammen mit Michael Cwikel habe ich Interpolationsräume gewichteter Sobolevräume analysiert, um zu klären, wann diese ihrerseits wieder gewichtete Sobolevräume sind. Da die meisten Differentialgleichungen ein Verständnis des Verhaltens der Ableitungen der Lösung(en) verlangen und diese zumeist in gewichteten Räumen existieren, ist es nur natürlich und wichtig dieses Problem zu untersuchen. Wir sind optimistisch, dass unser Resultat die zukünftige Forschung an einem noch größeren Spektrum von (Differential-) Gleichungen ermöglichen wird. In Kooperation mit José Cañizo und Bertrand Lods habe ich die Konvergenz der Lösung der linearen Boltzmann-Gleichung gegen eine Ruhelage behandelt. Diese Gleichung beschreibt beispielsweise die Streuung von Neutronen oder die Flugbahnen von Kometen. Wir haben dieselben Techniken wie bei der Untersuchung des Teilchenmodells angewandt. Für den Fall so genannter soft potentials, bei denen die Kollisionen von Teilchen Singularitäten erzeugen können, konnten wir eine explizite qualitative und quantitative Konvergenzrate angeben. Zusätzlich haben wir das Verhalten der Momente eines wichtigen Gerinnungs- und Fragmentierungsmodells von Becker-Döring untersucht. Diese Momente sind essentiell für das Verständnis um die Lösbarkeit sowie das Langzeitverhalten der Lösungen vieler solcher Gleichungen, so auch für das oben erwähnte Teilchenmodell. Unter relativ milden Voraussetzungen ist es uns gelungen die gleichmäßige Beschränktheit dieser Momente zu beweisen.