Nichthermitesche Zufallsmatrizen mit zusätzlichen Strukturen

Die Untersuchung von Zufallsmatrizen begann in den 1950er Jahren mit Wigners bahnbrechender Arbeit, die sich mit der Modellierung der Spektra schwerer Atomkerne beschäftigt. Eines der Hauptinteressen im Studium der spektralen Eigenschaften von Zufallsmatrizen hat seinen Ursprung im Universalitätsphänomen, das besagt, dass ausreichend komplexe Systeme durch diese Matrizen effektiv modelliert werden können. Dieses Konzept wurde in der Physik angewandt, um Modelle zu beschreiben, die weit über die ursprüngliche Vision Wigners hinausgehen, in der Mathematik, um Nullstellen der RiemannschenZetafunktionzu studieren, im Maschinenbaufürdrahtloses Kommunikationsdesign, und ebenso in vielen anderen Forschungsbereichen. Trotz der Allgegenwärtigkeit der mit Zufallsmatrizen assoziierten statistischen Eigenschaften in zahlreichen Anwendungen, gibt es dennoch viele offene Fragen bezüglich der Mechanismen, welche diese Universalität verursachen. Zufallsmatrizen bieten konkrete Modelle für die Erforschung dieser universellen Statistiken und sind ein wirksames Instrument der mathematischen Modellierung. Obwohl sie erfolgreich in einer Vielzahl von Anwendungen eigesetzt wurden, erfordern viele aktuelle mathematische Ergebnisse, dass die Einträge der Zufallsmatrix dieselbe Verteilung und ein hohes Maß an Unabhängigkeit aufweisen. In vielen Beispielen ist dies jedoch zu restriktiv und eine Vielzahl interessanter Phänomene kann daher nicht durch diese Resultate erklärt werden. In meiner Forschungsarbeit beschäftige ich mich mit Ensembles von Zufallsmatrizen, in denen mehr Struktur in den Einträgen der Matrix zugelassen ist oder in denen Polynome solcher Matrizen beachtet werden. Es wird angenommen, dass die lokale Statistik der Eigenwerte in mannigfaltigen physikalischen Systemen beobachtet werden kann. Ein erster Schritt in Richtung dieser Annahme ist, das Universalitätsphänomen innerhalb der Zufallsmatrizen aber im Beisein zusätzlicher Strukturen und Abhängigkeiten der Matrixeinträge zu verstehen. Im angewandten Bereich arbeite ich mit Biophysikern zusammen, um mit Hilfe spektraler Eigenschaften von Zufallsmatrizen Erkenntnisse über die Dynamik neuronaler Netzwerke zu gewinnen. Wir sind daran interessiert, herauszufinden, inwiefern sich die Anordnung der Netzwerke im Gehirn auf die Dynamik neuronaler Aktivität auswirkt. Wir haben entdeckt, dass eine Clusterbildung von Neuronen eine chaotische Dynamik erleichtern oder hemmen kann.

Many modern problems in science and technology involve high dimensional systems with complex interactions between various components. In such systems, it is impossible to precisely know every interaction. Since the pioneering work of Wigner in the 1950's to model the energy spacings of heavy nuclei, random matrices have become a valuable tool to understand high dimensional phenomena. The key insight is that sufficiently complex systems become "self-averaging" and can be effectively modeled by randomness. This insight as has been used in physics to describe models beyond Wigner's, in mathematics to study zeros of the Riemann zeta function, in engineering for wireless communication design, and many other research areas. Despite the ubiquity of random matrices in applications, the properties of many classes of random matrices are not very well understood, limiting the validity of random matrices as modeling tool. The goal of this project is to study universal properties of a wider class of random matrix ensembles and their applications to the dynamics of large, complex systems. Until recently, a major technical assumption made in the study of random matrices was that the entries are all independent and identically distributed. In terms of modeling dynamical systems, this corresponds to each component interacting with every other component in the same way, without any knowledge of the other interactions. This does allow for the incorporation of spatial information, that components farther away from each other should have weaker interactions. It also does incorporate correlation between between different connections. One important example is reciprocal correlations, given the knowledge that one component interacts with another component, one can expect the second component to interact with the first in a certain way. As an application of our understanding of the spectrum of large random matrices, we prove universal behavior in the long time behavior of the solution to a large system of linear differential equations with random coefficients. Of particular note, we show that in the critically coupled regime - an important case in neuroscience modeling - that for a large class of random matrices the solution exhibits a universal polynomial decay rate. In such large systems it is impossible to measure all the individual connections, but these universality results imply that as long as some basic assumptions are satisfied the system will exhibit similar behavior.