Selbstorganisation durch lokale Wechselwirkung

Eine überraschende Auswahl von Problemen in Wissenschaft und Ingenieurwesen von Biologie über Chemie und Physik zu Komputerwissenschaften und Logistik können als ein diskretes minimales Energieproblem formuliert werden. Ein klassisches Beispiel ist das Problem von Thomson zur Bestimmung der Verteilung von N Elektronen auf der Einheitssphäre mit minimaler potentieller Energie, wobei sich die Elektronen gemäß einer durch das Coulombsche Gesetz gegebenen Kraft abstossen. Das Ändern des Kraftgesetz führt auf Mehrfachelektronenblasen in superfluiedem Helium, gleichgewichteten numerischen Integrationsformeln, Virus-Morphologie, Kristalle, fehlerkorrigierende Kodes, Mehrstrahl-Laser-Implosions Geräten-und auf das optimale Plazieren von Funkmasten, Kommunikationssatelliten und Lagerstätten. Die Frage nach dem effektiven Stapeln von Orangen in Schachteln hat gleichermassen Krämer, Waffenmeister und Chemiker über Jahrhunderte fasziniert. Erst kürzlich konnte das dreidimensional Problem (Keplersche Vermutung) von Hales gelöst werden. Für höhere Dimensionen sind solche effektiven Anordnung ein Mysterium und erscheinen hartnäckig in der asymptotischen Analyse von hier betrachteten minimalen Energie-Problemen. In der mathematischen Abstraktion lässt sich eine solche Vielfalt von selbstorganisierende Anordnungen bei Annahme eines inversen Potenzgesetzes (mit Exponent s) für die Punktinteraktion beobachten. Damit lässt sich das hier studierte diskrete minimale Energieproblem definieren. Die Stärke dieses Zugangs wird evident, wenn eine einfache Änderung von s unterschiedliche Themen wie (I) worst-case Verhalten von numerischer Integration mittels Mittelwerten der Funktion in wohl- definierten Knoten (Quasi-Monte Carlo Regeln), (II) Positionen von Elektronen im stabilsten Energiegleichgewicht und Anordnungen von Protein-Untereinheiten von Virenkapseln, (III) Diskretisierung von Mannigfaltigkeiten und (IV) dichteste Packungen behandeln lässt. Ein substantieller Teil des Projekts befasst sich mit fundamentalen mathematischen Fragen zum asymptotischen Verhalten eines geeigneten Energiebegriffs für unendliche periodische und quasi- periodische Punktmengen und der Verbindung zum minimalen Energieproblem im kompakten Fall. Für die theoretischen Berechnungen werden neuartige Kombinationen von zahlentheoretischen, algebraiischen, kombinatorischen und graphentheoretischen Methoden benötigt. Weitere spezifische Fragen betreffen (a) das diskrete minimale Energieproblem für Kurven und Torus für generelles s; (b) die Erweiterung des theoretischen Rahmens für minimale Energieprobleme mit externe Feldern für alle s im potentialtheoretischen Fall; und (c) die Analyse von explizit konstruierbaren Punktkonfigurationen für Quasi-Monte Carlo Regeln. Dieses Projekt wird das existierende mathematische Wissen für zur Zeit ungelöste potentialtheoretische Fragen voranbringen.

Im Meitner Project M2030-N32 "Self organization by local interaction: minimal energy, external fields, and numerical integration" wurden Fragestellungen zur Verteilung von Punkten mit Hilfe von Methoden der Potentialtheorie, der harmonischen Analyse und der Approximationstheorie untersucht. Ein zentrales Konzept war die anwendungsabhängig definierte Energie einer Punktverteilung basierend auf Paarinteraktion über ein Rieszpotential. Ausgeszeichnet waren Verteilungen mit minimaler bzw. kleiner Energie. Umgekehrt kann diese Energie für gegebene Klassen von Punktverteilungen abgeschätzt und somit Schranken für die L2-Diskrepanz (ein Gleichmässigkeitmass für Punktverteilungen) bzw. dem worst-case Fehler für die numerische Integration mittels Quasi-Monte Carlo Methoden gefunden werden. Uniformität und Hyperuniformität: Es wurde das neue Konzept von Hyperuniformität von Punktverteilungsfolgen auf kompakten Mengen, konkret der Sphäre im (d+1)-dimensionalen Euklidischen Raum, eingeführt und untersucht. Hierbei wird die Fluktuation der Punktanzahl in einer sich über die Sphäre bewegenden sphärischen Kappe quantifiziert. Hyperuniformität liegt vor, wenn sich die Fluktuation nicht mit der Fläche der Kappe ändert. Es wurden drei Regimes identifiziert. Für bestimmte nichtzufällige Verteilungsfolgen (t-Designs minimaler Punktordnung, Punkte mit maximaler Summe aller Punktabstände und bestimmte QMC-Design Folgen) konnte Hyperuniformität in allen drei Regimes gezeigt werden. Weiters wurden Zufallsprozesse auf der Sphäre hinsichtlich Hyperuniformität untersucht. Ein Schwerpunkt des Projekts war die explizite Konstruktion von Punktverteilungsfolgen auf der Sphäre mit kleiner L2-Diskrepanz. Das Projekt konnte Fortschritte in dieser bislang ungelösten Frage der Diskrepanztheorie erzielen. Grenzverteilungen und Externe Felder: Das Projekt untersuchte die Grenzverteilung von Punkten mit logarithmischer bzw. Riesz-Interaktion auf endlichen Zylinder, kreisförmigen Tori, und allgemeinere Rotationsmengen im 3-dimensionalen Raum. Es wurden numerische Resultate zur Aufklärung des Verhaltens am Rande des Trägers des Gleichgewichtsmasses erzielt und Methoden zur genauen Bestimmung des Trägers und damit der Verteilungsdichte entwickelt. Ein überraschendes Resultat war, dass bei logarithmischer Interaktion ein schwaches externes Feld von Punktladungen auf der Sphäre dazu führt, dass die Feldquellen um sich massenfreie sphärische Kappen erzeugen und ausserhalb dieser Kappen die Grenzverteilung gleichmässig ist. Als weitere Anwendung von externen Feldern wurde untersucht, wie ein solches auszusehen hat, wenn eine gleichförmige Verteilung von Punkten im Einheitsquadrat (d-dimensionalen Würfel) mittels Maximierung der Summe aller Punktabstände erreicht werden soll. (Ohne externes Feld würden solche extremale Punkte am Rand des Würfel liegen.) Funktionsapproximation: Weitere Arbeiten des Projekts beschäftigten sich mit der vollständigen asymptotischen Entwicklung der logarithmischen potentiellen Energie von Punkten auf einem Intervall, der Approximation auf der Sphäre mittels sogenannter Needlets und der Aufstellung von Versuchsfunktionen mit spezifizierter Sobolevraum-Glattheit zur Bestimmung der Güte von numerischen Integrationsmethoden. Die Beweise verwendeten klassische Orthogonalpolynome und spezielle Funktionen. Einige der im Rahmen dieses Projekts durchgeführten Forschungsarbeiten erfolgten in Vernetzung mit Projekten des Forschungsschwerpunktes SFB "Quasi-Monte Carlo Methods: Theory and Applications" des FWF.