Direkte Summenzerlegung von Moduln und Nullsummentheorie

Direkte Summenzerlegungen von Moduln sind ein klassisches Thema der Kommutativen Algebra. Neuere Arbeiten von Facchini, Herbera und Wiegand haben den Weg geebnet fur einen neuen halbgruppentheoretischer Zugang. Von Bedeutung ist dies dann, wenn der klassische Satz von Krull-Remak-Schmidt-Azumaya nicht gilt und somit die direkten Summenzerlegungen nicht mehr eindeutig sind. Die neue Einsicht dieses Zugangs besteht darin, dass in relevanten Fallen (und auf diese konzentrieren wir uns hier) Probleme der direkten Summenzerlegungen durch wohlbekannte Transferprinzipien ubertragen werden konnen in das Monoid von Nullsummenfol- gen uber einer geeigneten abelschen Gruppe G mit Trager in einer Teilmenge GP (G is die Klas- sengruppe eines geeigneten Krullmonoids und GP die Teilmenge der Klassen, die Primdivisoren enthalten). Diese Ubersetzung ermoglicht es nun, Probleme der direkten Summenzerlegung von Moduln mit Methoden der Additiven Theorie (genauer der Nullsummentheorie) zu studieren. Nullsummentheorie ist ein Teilgebiet der Additiven (Gruppen- und Zahlen)Theorie. Im let- zten Jahrzehnt hat dieses Gebiet, so wie die Additive Theorie im allgemeinen, eine sturmische Entwicklung durchlaufen. Folgen uber abelschen Gruppen, zugehorige Mengen von Teilfolgen- summen und ihre Struktur unter Extremalbedingungen gehoren zu den zentralen Themen (eine Folge hier meint eine endliche Folge von Elementen mit Wiederholung). Insbesondere werden Probleme uber Folgen in Probleme uber Mengen ubersetzt, und dann mittels Summenmengen studiert. Somit haben Additionssatze zentrale Bedeutung, aber auch polynomiale Methoden und Gruppenringe. Die Menge der Nullsummenfolgen uber einer Teilmenge GP bildet selbst wieder ein Krullmonoid. Dieses Projekt liegt in der U berschneidung von Modultheorie und Nullsummentheorie. Ziel ist es, mit Methoden aus der Additiven Theorie Charakterisierungen von aritmetischen Endlichkeits- eigenschaften von direkten Summenzerlegungen zu erhalten (in Termen von G und GP ). Der Schwerpunkt der Nullsummentheorie lag bislang bei endlichen abelschen Gruppen, aber die Klas- sengruppen, die in der Modultheorie auftreten, sind meist unendlich (aber in vielen relevanten Fallen endlich erzeugt). Aus diesem Grunde werden ganzlich neue Methoden erforderlich sein. Wir werden die Struktur von Langenmengen und deren Vereinigungen untersuchen, aber auch die Davenportkonstante von GP und weitere arithmetische Invarianten.

Faktorisierungstheorie (FT) war - für lange Zeit - dem Studium von Faktorisierungen von Elementen in irreduzible gewidmet und zwar im Umfeld von kommutativen kürzbaren Halbgruppen. In den letzten eineinhalb Jahrzehnten hat das Gebiet zwei substantiell neue Entwicklungen gesehen, initiiert durch Arbeiten von Facchini und Wiegand über direkte Summenzerlegungen von Moduln, und von Baeth and Smertnig über nicht-kommutative Ringe. In diesem Sinne war es eines der Hauptergebnisse dieses Projekts die Anwendungsbereiche der FT auf weitere neue Gebiete auszudehnen. Eine Motivation dafür entspringt dem Artikel Y. Fan and S. Tringali, Power monoids: A bridge between Factorization Theoryand Arithmetic Combinatorics, Journal of Algebra (erscheint demnächst), in dem die Autoren eine neue Klasse nicht-kürzbarer Halbgruppen einführen, die einen erfolgversprechenden Rahmen bilden für die Interaktion von arithmetischer Kombinatorik und FT. Eine weitere Stoßrichtung untersuchte die Struktur von Längenmengen und deren Vereinigungen. Es war bekannt, dass Vereinigungen von Längenmengen, in mannigfachem Umfeld, arithmetische Fastprogressionen sind mit globalen Schranken für alle Parameter. Dies bedeutet, dass ihre (global beschränkten) Anfangs- und Endabschnitte nur Teilmengen arithmetischer Progressionen sind und gewisse Irregularitäten in ihrer Struktur aufweisen. In Theorem 1.2 in S. Tringali, Structural properties of subadditive families with applications to factorization theory, Israel Journal of Mathematics (erscheint demnächst), wurde gezeigt (für Halbgruppen mit akzeptierter Elastizität), dass sich diese Irregularitäten periodisch wiederholen. Genauere Informationen finden sich in der Langversion des Endberichts. Die Ergebnisse dieses Projekts sind in sieben Publikationen dargelegt (davon eine in Koarbeit mit dem österreichischen Partner), welche in internationalen mathematischen Fachzeitschriften eingereicht wurden (davon sind fünf zur Publikation angenommen und zwei noch in Begutachtung). AllePublikationen sindvon der persönlichen HomepagedesProjektleiters (https://imsc.unigraz.atringali/) abrufbar.