Angewandte Nichtstandardanalysis

The present research project focuses on applications of Nonstandard Analysis to Mathematical Analysis, Differential Geometry, and Combinatorial Number Theory. The project is divided in three parts. In the first part we plan to develop a topological approach to Nonstandard Analysis. This approach has two advantages with respect to the classical one: it allows to obtain nonstandard constructions without having to appeal to formal logic (so to make nonstandard methods easily available to a wider range of scientists) and it is particularly suitable for applications to PDEs and Differential Geometry. The second, and main, part of the project concerns the theory of ultrafunctions. Ultrafunctions are a new family of generalized functions, constructed by means of nonstandard analysis, that have been introduced by Professor V. Benci from the University of Pisa and applied by Professor V. Benci and the main applicant to study topics in Calculus of Variations, Partial Differential Equations, Functional Analysis and Mathematical Physics. In this research project we plan to apply the theory of ultrafunctions to Differential Geometry and to study evolution problems. In particular, we plan to develop three topics. We want to find the relationship between ultrafunctions, Colombeau generalized functions and Robinson`s asymptotic functions, so to transfer to and improve for ultrafunctions some of the results of Colombeau and Robinson`s theories. Then we want to develop a theory of ultrafunctions valued in manifolds; this would allow to apply ultrafunctions to various problems in Differential Geometry and Relativity Theory. Finally, we want to develop the notion of ultrafunction solutions of evolution problems. This will be performed by studying some particular evolution equations by means of ultrafunctions, in particular by studying in details Burger`s inviscid equation. In the third part of the project we plan to develop new nonstandard techniques in Combinatorial Number Theory. In particular, we want to study the partition regularity of nonlinear diophantine equations, the partition regularity of infinite matrices and the combinatorial properties of high density sets. The first and the second topic will be studied by means of a new nonstandard technique, based on iterated hyperextensions, that has been developed by the main applicant in some recent works. This technique allows to study these problems by means of rather simple manipulations of symbols. This should allow to apply new algebraic and computational approaches to these problems. To study the combinatorial properties of high density sets we plan to highlight the relationship between the known nonstandard approaches (usually based on Loeb measures) and F-finite embeddabilities, that are a family of (pre)orders, defined on subsets and ultrafilters on N, with good combinatorial properties.

Abschlieender Projektbericht für das Lise-Meitner project M 1876-N35 Applied nonstandard analysis L. Luperi Baglini Mit diesem Projekt haben wir drei Hauptresultate erzielt, die alle im Zusammenhang mit der Entwicklung von neuen nicht-archimedischen Methoden in der Mathematik stehen. Dabei handelt es sich um ein be- deutendes Forschungsfeld: bei Fragestellungen, in denen auf natürliche Weise unendliche oder innitesimale Gröen auftreten, ist es in vielen Fällen sehr schwierig, klassische Modelle zu konstruieren oder klassische Methoden zu verwenden. Nicht-archimedische Modelle hingegen sind in der Regel einfacher zu konstruieren als die entsprechenden klassischen und entsprechen einer intuitiven Herangehensweise. Das erste Hauptresultat in diesem Projekt ist jenem Zweig der kombinatorischen Zahlentheorie zuzuordnen, der sich mit der Partitionsregularität nichtlinearer diophantischer Gleichungen befasst. In diesem Gebiet gibt es bis heute nur wenige und bruchstückhafte Ergebnisse; dank einer Zusammenarbeit mit Professor M. Di Nasse (Universität Pisa) waren wir in der Lage, die meisten zuvor bekannten Resultate in zwei sehr einfachen und allgemeinen Theoremen zusammenzufassen und auch zu verbessern. Die Relevanz dessen begründet sich auf der einen Seite in der Ermöglichung der Zusammenführung vieler verschiedener Resultate, die mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen wurden, und auf der anderen Seite in der Einführung einiger neuer, auf NSA basierenden Ideen, die verwendet werden könnten um andere Fragen in diesem Themenkreis zu studieren. Insbesondere die Manipulation von Ultraltern über ihre Erzeuger könnte als Anwendung zu einer ezienteren numerischen Behandlung von Ultraltern führen. Das zweite Hauptresultat besteht in der Einführung einer neuen Theorie verallgemeinerter Lösungen par- tieller Dierentialgleichungen, der "verallgemeinerten Ultrafunktionslösungen". Dies wurde in Zusammenar- beit mit Professor V. Benci (Universität Pisa) erreicht. Diese neuen verallgemeinerten Lösungen besitzen einige sehr starke formale Eigenschaften, die es ermöglichen, etliche klassische Resultate auf sehr viel allge- meinere Situationen zu übertragen. Insbesondere waren wir in der Lage, Existenz und Eindeutigkeit von verallgemeinerten Ultrafunktionslösungen unter nur schwachen Voraussetzungen an die zu Grunde liegende partielle Dierentialgleichung zu beweisen (Lösungen dieser Form existieren sogar dann, wenn ein klassischer "blow up" vorliegt). Um die Bedeutung dieser Herangehensweise zu unterstreichen, haben wir eine detail- lierte Studie der Burgersgleichung erstellt. Diese partielle Dierentialgleichung wird in vielen Situationen verwendet, unter anderem, um Verkehrsuss zu modellieren. Das dritte Hauptresultat war das Studium vieler grundlegender Eigenschaften und Anwendungen von ver- allgemeinerten Colombeaufunktionen und ihrer Erweiterungen, der verallgemeinerten glatte Funktionen. Im Besonderen konnten wir durch eine Zusammenarbeit mit PhD A. Lecke (Universität Wien) und PhD P. Gior- dano (Universität Wien) etliche grundlegende Prinzipien der Variationsrechnung auf diese verallgemeinerte Situation ausweiten, was zu Anwendungen beim Studium von Geodäten im Fall von niedriger Regularität führte. Dies könnte in naher Zukunft Anwendung in der Physik nden. 1