Die Erzeugendeneigenschaften von Gabor Systemen

Given a square-integrable function on the real line, which will be referred to as the window, a countable set of time-frequency translates of this function is called a Gabor system. The most standard example of a window is the Gaussian. It is a fundamental question in pure mathematics and engineering sciences to determine spanning properties of such systems in terms of the window and the countable set in the plane which defines the step sizes of the time-frequency translates. In particular, it is important to decide whether such a system constitutes a frame. This means that any square-integrable function can be written as a superposition of functions of the system in such a way that the dependence between the function and the coefficients is stable. A description of Gabor frames is an open question in this generality. The aim of my work under the fellowship period will be to extend the present understanding of Gabor systems to a larger class of windows. In the research plan, I will describe two research directions in more detail. The first one is related to vector-valued Gabor systems generated by a vector of first Hermite functions. This vector is a natural analogue of the Gaussian in the scalar-valued case. The aim here is to extend previous results characterizing frames to cover non-uniform time- frequency translates. This question is equivalent to a sampling problem in spaces of polyanalytic functions which are square-integrable with respect to a Gaussian weight in the complex plane. The other topic is to understand completeness of scalar-valued Gabor systems when the step size of translation is constant in both time and frequency. The plan is to show that such Gabor systems are always complete given that the window is analytic and exponentially decaying and that the density of the set describing the step sizes of the time-frequency translates is greater or equal to 1. It is known that such general conditions do not guarantee that the system is a frame. It is hoped that studying completeness will also give new insights about the frame property.

Die Forschung dieses Forschungsprojekts beschäftigte sich mit verschiedenen Aspekten aus zwei großen Bereichen der Mathematik, komplexe und Zeit-Frequenz Analysis.Die Zeit-Frequenz Analysis beschäftigt sich mit der Frage, wie ein Signal in Zeit und Frequenz gleichzeitig dargestellt werden kann. Ein klassisches Beispiel einer solchen Darstellung ist ein Notenblatt, dessen Schlüsselmerkmal es ist, dass Signale (in diesem Fall Musikstücke) dadurch beschrieben werden, welche Frequenzen zu welcher Zeit gespielt werden. Diese Art Signale zu analysieren hat sich als extrem hilfreich in vielen Anwendungen herausgestellt. Für allgemeinere Signale existieren viele verschiedene Möglichkeiten solche Darstellungen zu konstruieren und es ist ein wichtiger Forschungsgegenstand, die Unterschiede zwischen den möglichen Ansätzen zu verstehen. Nachdem man eine adäquate Darstellung ausgewählt hat, stellt sich natürlicherweise folgende Frage: ist es möglich eine diskrete Menge von Samplingpunkten zu finden, so dass jedes Signal eindeutig durch seine gesampelten Werte bestimmt ist. In diesem Fall ist sämtliche Information über das Signal in den Messwerten kodiert. Solche Ergebnisse sind von großer Relevanz zum Beispiel in der Telekommunikation, da dort nur diskrete Information übertragen werden kann. Unter Anderem konnte in diesem Projekt eine Bedingung an diskrete Mengen gezeigt werden, die die Eindeutigkeit der Messwerte garantiert und damit einen theoretische Bestätigung für verschiedene Methoden in Ingenieursanwendungen liefert.Ein weiteres Thema war das statistische Verhalten von Elektronen in der Ebene auf die ein starkes Magnetfeld wirkt. Solche Modelle können mit Hilfe von Methoden aus der komplexen Analysis ausgewertet werden. Es ist allgemein bekannt, dass die Elektronen in diesem Modell dazu tendieren sich in gewissen Gleichgewichtskonfigurationen zu befinden. Allerdings gibt es gewisse Fluktuation in der Umgebung dieser Gleichgewichte. Die Ergebnisse aus diesem Projekt beschreiben genau diese Fluktuationen.Der dritte Teil des Projekts beschäftigte sich mit der quantenmechanischen Unschärferelation. In der klassischen Formulierung besagt diese, dass sich die Position und das Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig bestimmen lassen. Wir haben neue, exakte Formulierungen der Unschärferelation hergeleitet und konnten damit neue Ergebnisse über Dirichlet Reihen erzielen, ein mathematisches Objekt das zum Beispiel in der Zahlentheorie eine wichtige Rolle spielt.