Lokale Analyse von redundanten Frame Erweiterungen

One of the most successful techniques in analysis is the one of decomposing function spaces into elementary building blocks. This is commonly known as a frame expansion. A general function is presented as a weighted superimposition of more basic ones, often called atoms. Diverse operations on functions can be understood by first considering their action on the basic building blocks. Time-scale and time-frequency analysis provide examples of such techniques. In the first case, the dictionary of building blocks consists of translated and dilated copies of a basic shape. In the second, it consists of time and frequency translations of a fundamental atom. Several subtle properties of functions (e.g. smoothness, decay, directional regularity) are encoded in the coefficients (weights) involved in such representations. The usefulness of frame expansions, both in theory and applications, comes from the possibility of designing dictionaries of atoms with prescribed properties. The counterpart of this flexibility is redundancy. In order to construct dictionaries with certain properties one often has to give up perfect independence between different atoms, thus yielding a redundant expansion. The aim of this project is to study local operations on redundant frame expansions. The challenge in this is that a perfect manipulation of the coefficients is no longer possible, since changing a coefficient associated with an atom can have an effect on the other ones. The main insight we will apply to overcome this difficulty is to replace the role of strict independence by the more flexible notion of low-correlation.

Die Darstellung von Daten als eine Kombination von einfacheren grundlegenden Bauteilen ist eine sehr effektive Methode, um Daten zu analysieren. Die Bauteile heißen Atome und wie man sie wählt, hängt vom bestimmten Problem ab, das man zu lösen versucht. Wenn die Daten beispielsweise Bilder sind, sind die richtigen Atome grundlegende geometrische Formen wie Kreise und Linien. Für Audiobearbeitung sind die richtigen grundlegenden Bauteile kurze und oszillierende Signale, die den verschiedenen Tonhöhen des Klanges entsprechen. Deswegen sehen die Darstellungen von Audiosignalen wie Musikpartituren aus. Atomische Darstellungen sind ebenso sehr nützlich für die Analyse von Verschmutzungs- und Temperaturdaten. Wenn die Daten entsprechend dargestellt sind, können sie verkleinert werden, indem die kleinen Komponenten eliminiert werden. Damit erhält man nur die wesentlichen Kennzeichen der Daten.Am wichtigsten dabei ist es, geeignete Bauteile zu entwerfen. Datendarstellungen sind oft redundant. Das bedeutet, dass die Daten in mehreren Weisen aus den grundlegenden Bauteilen aufgebaut werden können. Diese Freiheit ist sehr nützlich für Anwendungen, weil redundante Beschreibungen anpassungsfähiger sind. Die Redundanz bedeutet jedoch eine mathematische Herausforderung, weil die Beziehung zwischen den Daten und ihrer Beschreibung komplizierter wird.In diesem Projekt wurde manche Frage zu diesem Thema beantwortet. Beispiele für dieseFragen sind: Mit welchen Bauteilen erreicht man eine optimale Beschreibung bestimmter Daten?Wenn ein Problem sich leicht verändert, muss man eine ganz neue Datendarstellung finden, oder ist es ausreichend, die bereits bestehende Darstellung nur leicht zu verändern? Wie viele grundlegende Bauteile braucht man, um ein bestimmtes Phänomen ausreichend zu beschreiben? Sind die Datendarstellungen numerisch stabil, sodass man die Daten mit dem Computer bearbeiten kann?