Statistische Eigenschaften chaotischer physikalischer Flüsse

This project concerns the study of statistical aspects of flows, in particular those flows arising from the Lorenz system and various mechanical models. The mathematical concept of a flow is a system which evolves according to some predetermined rule and that this evolution happens in continuous time. This project involves the study of flows which are chaotic of nature in the sense that they have sensitive dependence on initial conditions, sometimes known as the butterfly effect. In other words, knowledge about the system is quickly lost. We focus on the rigorous mathematical understanding of such systems. It is an important topic in the mathematical field of research known as dynamical systems. The sensitivity to initial conditions means that it is neither possible nor useful to study the evolution of individual trajectories. Instead one must make the connection with probability theory and study the statistical properties of the system. For example it is important to understand the rate at which initial information about the system is lost. From another point of view, this is an understanding of the extent to which subsequent observations behave like independent random events. The field of dynamical systems has seen massive advances in recent decades, particularly in the improvement of the mathematical machinery for studying the systems. Initially the systems studied were idealised and far from being real physical examples. The technological progress means that now it is feasible to study these systems of realistic physical character. Finally we can obtain substantial results concerning the systems which were a major motivation behind the development of the field of dynamical systems.

Der Fokus des Projektes liegt auf dem Studium der statistischen Aspekte von Flüssen, insbesondere auf denjenigen Flüssen, die aus dem Lorenzsystem und aus verschiedenen mechanischen Modellen entstehen. Das mathematische Konzept vom Fluss ist ein System, das sich nach einer vorherbestimmten Regel entfaltet, und die Evolution entwickelt sich in kontinuierlicher Zeit. Dieses Projekt beinhaltet das Studium von Flüssen, deren Natur chaotisch ist, in dem Sinne, dass sie empfindliche Abhängigkeit von Anfangsbedingungen haben, manchmal bekannt auch als Schmetterlingseffekt. Mit anderen Worten: das Wissen über das System geht schnell verloren. Das Ziel war ein rigoroses mathematisches Verständnis solcher Systeme. Es ist ein wichtiger Gegenstand aus dem Gebiet der mathematischen Forschung bekannt als dynamische Systeme.Die Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen bedeutet, dass es weder möglich noch sinnvoll ist, die Evolution einzelner Trajektorien zu untersuchen. Stattdessen muss man den Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitstheorie herstellen und die statistischen Eigenschaften des Systems untersuchen. Zum Beispiel ist es wichtig, die Rate zu verstehen, mit der die ursprünglichen Informationen über das System verloren wird. Aus einem anderen Standpunkt ist dies ein Verständnis dafür, inwieweit sich nachfolgende Beobachtungen wie unabhängige Zufallsereignisse verhalten.Das Gebiet der dynamischen Systeme hat massive Fortschritte in den letzten Jahrzehnten, vor allem bei der Verbesserung der mathematischen Gerate für das Studium der Systeme, gesehen. Zunächst waren die untersuchten Systeme idealisiert und weit davon entfernt, reale physikalische Beispiele zu sein. Der technologische Fortschritt bedeutet, dass es jetzt möglich ist, diese Systeme von realistischem physischem Charakter zu studieren. Schließlich können wir wesentliche Ergebnisse bezüglich derjenigen Systeme erhalten, die eine wesentliche Motivation für die Entwicklung des Gebietes der dynamischen Systeme waren.Das Projekt war erfolgreich bei der Verbesserung unserer Kenntnisse über diese Fragen in einigen besonderen Beispielen des oben beschriebenen Typs. Auch Fortschritte wurden bei der Verbesserung der uns zur Verfügung stehenden mathematischen Geräte für die Untersuchung der bei diesen Systemen entstehenden Phänomene.