Langzeitverhalten und Streutheorie fuer Dirac-Gleichungen

Das Hauptziel des Projekts ist das Lanzeitverhalten von Lösungen der linearen und nichtlinearen Dirac-Gleichung. Dabei sind folgende Punkte geplant: Abfallverhalten für lange Zeiten Wir wollen das dispersive Abfallverhalten von Lösungen von kontinuierlichen und diskreten Schrödinger, Klein- Gordon und Driac Gleichungen mit elektromagnetischen Potentialen in gewichteten Energienormen beweisen. Dazu soll die Analytizitätstheorie für Resolventen von Agmon-Jensen-Kato-Murata auf den zugehörigen Operatoren erweitert werden. Insbesondere soll Glattheit und Hochenergieabfall der Resolvente und der (verallgemeinerten) Puiseux-Entwicklung am Schwellenwert gezeigt werden. Der Hochenergieabfall soll durch Faktorisierung des magnetischen Schrödinger-Operator in der Spektraldarstellung gezeigt werden. Die Faktorisierung basiert auf der Abwesenheit des singulären Spektrums. Solitonen Streuasymptotik Wir betrachten die an einen nichtlineren Oszillator gekoppelte Driac-Gleichung und die relativistische Dirac- Gleichung in einer Raumdimension. Wir untersuchen den Fall wo die Anfangsbedingung in der Nähe der Solitonenmanigfaltigkeit liegt. Wir wollen zeigen, das die Lösung sich asymptotisch als Summe einer solitären Welle und einer dispersiven Welle, die eine Lösung der freien Dirac-Gleichung ist, beschreiben lässt. Der Fehlerterm konvergiert in einer globalen Norm gegen Null. Analoge Resultate sind für die entsprechenden diskreten Gleichungen geplant. Der Beweis basiert auf dem dispersiven Abfallverhalten der linearisierten Dirac- Gleichung das im Rahmen des Projekts gezeigt werden soll. Konvergenz zur Gleichgewichtsverteilung Wir betrachten diskrete und kontinuierliche elektromagnetische Dirac-Gleichungen mit zufälligen translationsinvarianten Anfangswerten die die Mischbedingung von Rosenblatt oder Ibragimov-Linnik erfüllen. Wir wollen zeigen, dass die Verteilung der Lösung im Limes für große Zeiten gegen ein Gaussmass konvergiert. Dieses Resultat stellt eine Verallgemeinerung des zentralen Grenzwertsatzes für hyperbolische partielle Differentialgleichungen dar. Der Beweis für das ungestörte Modell, ohne Potential, wird auf der Weiterentwicklung der Methode der Bernstein-Reihen basieren. Die Erweiterung auf das gestörte Modell erfolgt mit "Streutheorie im Mittel`` basierend auf dem dispersiven Abfallverhalten für magnetische Diracoperatoren. Lecture Notes Es ist geplant die Agmon-Jensen-Kato-Murata Spektral- und Streutheorie für Schrödinger-Gleichung und die Erweiterung auf Klein-Gordon-Gleichungen als Lecture Notes zu publizieren.

Ziel des Projektes war die Analyse der Langzeitasymptotik von linearen und nichtlinearen hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen. Diese Untersuchungen sind durch ma-thematische Probleme in der Quantenmechanik motiviert.Die Ergebnisse wurden in einer Monographie,12 Artikeln in begutachteten Journalen, 2 Preprints, und 9 Kurzfassungen in Tagungsbänden veröffentlicht und wurden auf 9 Konferenzen und in 4 Seminaren präsentiert. Die Resultate konzentrieren sich auf i) dispersiver langzeit Zerfall in gewichteten Normen; ii) asymptotische Stabilität von solitären Wellen und Streu-asymptotik; iii) Konvergenz gegen eine Gleichgewichtsverteilung.Zum ersten Mal wurde dispersiver Zerfall in gewichteten Normen füra) die magnetische drei-dimensionale Schrödinger- und Klein-Gordon-Gleichungen b) für die ein- und zwei-dimensionale Dirac-Gleichung mit hermitschen Matrix-Potentialen bewiesen.Für den Beweis erweiterten wir die Agmon-Jensen-Kato-Theorie des dispersiven Zerfalls für die Schrödingergleichung mit einem skalaren Potential auf die magnetische Schrö-dinger- und Klein-Gordon-Gleichung und auf die Dirac-Gleichung. Diese Erweiterung ist nicht-trivial da die zugehörigen Resolventen für große Energien nicht abfallen.Zum ersten mal wurden solitäre Streuasymptotiken füra) die an ein Teilchen gekoppelte Dirac-Gleichung; b) die an einen nichtlinearen Oszillator gekoppelte Schrödinger-Gleichung bewiesen.Dazu wenden wir die allgemeine Strategie an, die von Buslaev and Perelman für die Schrödinger-Gleichung entwickelt wurde: Symplektisch orthogonale Zerlegung der Dynamik in der Nähe der Solitonenmannigfaltigkeit, zeitlicher Abfall in transversale Richtungen, etc.Wir führen eine neue Klasse von stückweise quadratischen Potentialen für nichtlineare Wellengleichungen ein die eine exakte Beschreibung der Spektraleigenschaften der um die Solitonen (Kinks) linearisierten Gleichung erlauben, welche notwendig für die Stabili-tätseignschaften der Solitonen sind. Ausserdem erhalten wir eine Eigenfunktion-sentwicklung von Lösungen von hamiltonschen Gleichungen und verwenden diese für die Herleitung einer Fermischen goldenen Regel im Kontext nichtlinearer Gleichungen. Diese Bedingung bedeutet eine starke Kopplung zwischen Komponenten des diskreten und kontinuierlichen Spektrums und bewirkt das Abstrahlen von Energie ins Unendliche was als Ergebnis die asymptotische Stabilität von solitären Wellen liefert.Zum ersten Mal wurde Konvergenz zu einer Gleichgewichtsverteilung für die drei-dimen-sionale Dirac-Gleichung mit einem hermitschen Potential gezeigt. Um den Fall der gestö-rten Gleichung auf den Fall der freien Gleichung zu reduzieren entwickeln wir eine Streu-theorie für die Lösungen von undendlichen globalen Ladungen unter der Verwendung von Dualitätsargumenten und Streutheorie für endlich geladenen Lösungen. Diese Streutheorie basiert auf dem dispersiven Zerfall.