Die Camassa-Holm-Gleichung und indefinite Spektralprobleme

Die Geschichte solitärer Wasserwellen geht auf experimentelle Arbeiten von Russell aus dem Jahr 1844 zurück. Zur Modellierung langer Wellen in seichtem Wasser wurde 1895 die Korteweg-de Vries-Gleichung (KdV) eingeführt. Im Jahr 1965 entdeckten Zabusky und Kruskal dass einzelne pulsförmige Lösungen der KdV eine zuvor unbekannte Eigenschaft haben: zwei einzelne Wellen behalten ihre Form und Grösse nach einer Wechselwirkung. Sie nannten diese Lösungen Solitonen. Kurz darauf wurde von Gardner, Greene, Kruskal und Miura eine neue Methode zur Lösung der KdV-Gleichung entwickelt indem sie auf Methoden der direkten und inversen Streutheorie aus der Quantenmechanik zurückgriffen. Im Folgenden erweiterte Lax diese Ideen und Zakharov und Shabat dehnten sie auf andere physikalisch relevante Gleichungen, unter anderem die nichtlineare Schrödinger- Gleichung, aus. Allerdings sind die Lösungen der KdV-Gleichungen für genügend reguläre Anfangsbedingungen global, während es bekannt ist, dass es Wellen in seichtem Wasser gibt die brechen. 1933 haben deshalb Camassa und Holm eine neue Gleichung hergeleitet die sowohl Solitonenlösungen besitzt und mithilfe der inserven Streutransformation gelöst werden kann als auch in der Lage ist das Brechen von Wellen zu modellieren. Insbesondere fanden Camassa und Holm heraus, dass Wellenbrechung eintreten kann wenn das zugeordnete Sturm- Liouville Spektralproblem indefinite ist. In diesem Zusammenhang ist direkte und inverse Streutheorie für die zugehörigen Strum-Liouville-Operatoren von zentraler Bedeutung für die Camassa-Holm-Gleichung (CH). Leider ist diese Theorie aber für indifinite Probleme, wo die Gewichtsfunktion das Vorzeichen wechselt, nicht entwickelt. Ziel des Projekts ist es daher direkte und inverse Streutheorie für indefinite Sturm-Liouville-Gleichungen zu entwicklen und zur Untersuchung von Wellenbrechung bei der CH-Gleichung zu verwenden.