Approximation von maximalen kommutativen Untergruppen

Dieses Projekt befasst sich mit Verallgemeinerungen bestimmter Begriffe aus der Diophantischen Approximation und baut auf einer gemeinsame Arbeit von A. M. Vershik und dem Antragsteller auf. Dort erklären wir die wichtigsten Begriffe betreffend die Approximation von kommutativen Untergruppen und studieren den zweidimensionalen Fall genaür. Das Ziel dieses Projektes ist das Entwickeln von effizienten Approximationsmethoden für Gerade, Ebenen, Winkel, simpliziale Kegel, Polygone und Polyeder durch ``ganzzahlige`` Objekte gleichen Typs (was mit Hilfe von geeigneten Punktgittern exakt definiert wird). Der vorgeschlagenen Zugang basiert auf verschiedenen Methoden aus der Theorie der mehrdimensionalen Kettenbrüche und ihrer Interpretation als maximale kommutative Untergruppen von GL(n,R). Erste Schritte in diese Richtung sind Das klassische Problem der Approximation von reellen Zahlen durch rationale, sowie simultane Approximation. Zum gegenwärtigen Zeitpunkt ist jedoch noch wenig über geometrische Approximation im allgemeinen bekannt. Wir planen, die Theorie der Markoff-Minima zu erweiteren, und insbesondere interessieren wir uns für die schlechtest-appromierbaren Untergruppen in niedrigdimensionalen Fällen. Wir werden die Verteilung der Bestapproximanten im Hinblick auf die Dirichletgruppe und die geometrischen Eigenschaften von Kegeln untersuchen. Das nächste Ziel ist es, Untergruppen-Approximation für die Approximation von Strecken, Geraden, Arrangements von Geraden und konvexen Polygonen und Polyedern etc. zu nutzen. J.L. Lagrange, H. Minkowski, C.F. Gauss und F. Klein entdeckten den Zusammenhang (mittels Kettenbruchentwicklung) zwischen der Approximation von reellen Zahlen durch rationale mit den konvexen Hüllen von Gitterpunkten in Sektoren. Dieses Projekt wird gleichermaßen versuchen, Zusammenhänge zwischen Approximationsproblemen und mehrdimensionalen Kettenbrüchen, die zu Kegeln gehoren, herzustellen. Wir beabsichtigen auch, die Methode der mehrdimensionale Kettenbrüche auf andere geometrische Objekte anzuwenden. Ein weiteres Ziel ist der Vergleich von durch den Jacobi-Perron Algorthmus erzeugten Approximanten durch diejenigen, die von der Approximation von maximalen kommutativen Untergruppen herrühren. Der Jacobi-Perron- Algorithmus erzeugt eine Folge von Approximanten eines Strahls durch rationalen Strahlen. Im zweidimensionalen Fall werden alle Bestapproximanten erzeugt. Im dreidimensionalen Fall ist die Situation nicht so einfach, was mit der Existenz von leeren Gitterteträdern mit beliebig großem Volumen zu tun hat. Trotzdem sind die Approximanten nicht schlecht und es gibt mehrere diesbezügliche Resultate. Es wäre interessant, diese Approximanten mit den Bestapproximationen im Sinne von maximalen kommutativen Untergruppen zu vergleichen. Das Thema dieses Forschungsprojektes hat Bezüge zu anderen Teilgebieten der Mathematik, insbesondere zur Approximation durch rationale Kegel, die zu Singularitäten von komplexen torischen Varietäten gehören. Ein anderer Zusammenhang sind Limites von Young-Diagrammen oder konvexen Gitterpolygonen, die vom Gesichtspunkt der simplizialen Kegel (anstelle der traditionellen Interpretation als Gitterpunkte im positiven Oktanten) betrachtet werden können, wobei die rationale Approximation von Kegeln ein wichtiges Argument wird.