Superoszillationen und ihre Zeitenwicklung

Unter dem Begriff "Superoszillation" versteht man das paradoxe Verhalten von Funktionen, Wellen oder Teilchen, schneller zu schwingen als die internen Frequenzen es erwarten lassen würden. Zum Beispiel kann niederfrequentes (rotes) Licht derart interferieren, dass hochfrequentes blaues Licht oder im Extremfall sogar radioaktive Gammastrahlung entsteht. Ziel des Projektes ist nun die Untersuchung superoszillierender quantenmechanischer Teilchen und ihrer Interaktion mit Potentialen. Im Speziellen soll die Frage beantwortet werden, ob superoszillierendes Verhalten zeitlich stabil ist oder ob diese empfindliche Interferenzerscheinung zerstört wird durch die Einwirkung externer Kräfte. Mathematisch gesehen liegt diesem Problem die sogenannte Schrödingergleichung zugrunde, die vom Namensgeber des Stipendiums Erwin Schrödinger im Jahre 1926 aufgestellt wurde und bis heute die Grundlage der nichtrelativistischen Quantenmechanik bildet. Da die vollständige Lösung dieser Gleichung in der Regel nur sehr schwer bis gar nicht berechenbar ist, besteht die Aufgabe darin zumindest die Teile der Lösung zu extrahieren, welche die nötigen Informationen zum Zeitverhalten von Superoszillationen beinhalten. Das größte praktische Anwendungsgebiet von Superoszillationen ist die optische Mikroskopie. Im klassischen Sinne ist die Auflösung eines optischen Mikroskops beschränkt durch die verwendete Lichtfrequenz. D.h. es können keine Objekte untersucht werden dessen Abmessungen kleiner sind als die Wellenlänge des verwendeten Lichts. Durch den gerade beschriebenen Effekt der Superoszillationen kann diese Wellenlänge jedoch künstlich verringert und dadurch das Auflösungsvermögen des Mikroskops vergrößert werden. In diesem Zusammenhang spricht man dann von "optical superresolution". Ein weiteres Problem mit dem sich das Projekt beschäftigt, ist der Umstand, dass unter dem Wort "Superoszillation" zwar der Effekt des "zu starken Schwingens" verstanden wird, verschiedene wissenschaftliche Fachrichtungen in der Vergangenheit dieses Phänomen jedoch problemspezifisch unterschiedlich behandelt haben. Angestrebt wird demnach eine mathematische Theorie sowie eine allgemein gültige präzise Definition einer superoszillierenden Funktion, welche alle existierenden Phänomene umfasst und erklärt.