Konvergente Reihen für Gittermodelle und QFT

Eines der Schlüsselprobleme in der modernen theoretischen Physik ist die Beschreibung von wechselwirkenden Systemen mit einer großen Zahl an Freiheitsgraden. Die volle Information über ein derartiges Systems ist in einer unendlichen Anzahl von Korrelationsfunktionen enthalten, welche formal über das Pfadintegral dargestellt werden können. Die rigorose mathematische Definition des Pfadintegrals ist eng mit dem Fundament von Quantenfeldtheorien verbunden und bleibt in den meisten Fällen ein offenes Problem. Eine Standardmethode für das Pfadintegral ist eine störungstheoretische Entwicklung mit einer Anfangsnäherung, welche durch den nicht- wechselwirkenden Teil der Theorie gegeben ist. Dieser Teil beschreibt die Propagation der freien Freiheitsgrade. Diese Form der Störungstheorie führt jedoch zu einer asymptotischen Reihe, welche nur begrenzt anwendbar ist. In diesem Projekt schlagen wir eine alternative störungstheoretische Entwicklung vor. Sie basiert auf einer nicht-standard Anfangsnäherung, welche durch eine bestimmte wechselwirkende Theorie gegeben ist. Diese Art von Entwicklung erlaubt es, konvergente Reihen zu konstruieren, die auf eine große Zahl von physikalischen Parametern anwendbar ist. Der Projektvorschlag zielt darauf ab, neue, effektive numerische Schemata für Gitterfeldtheorien und Pfadintegrale zu entwickeln. Dies kann auch als ein wichtiger Schritt in Richtung einer nicht- perturbativen Definition und des Fundaments von Quantenfeldtheorien betrachtet werden. Insbesondere schlägt dieses Projekt eine neue nicht-perturbative Methode vor, um super- renormierbare Quantenfeldtheorien zu studieren. Außerdem stellt es eine neuartige Strategie für Gitterberechnungen im Kontinuumslimes dar, sowie zur Behandlung von Theorien mit Vorzeichenproblem, welche nicht direkt für Monte Carlo Simulationen zugänglich sind. Die Methoden, welche in diesem Projekt angewendet werden sollen, reichen von Gittersimulationstechniken bis zu aktuellen Entwicklungen in der mathematischer Physik, sowie im Bereich der konstruktiven Feldtheorie.

Die zentralen Untersuchungsgegenstände in der Quantenfeldtheorie (QFT) und in allen Bereichen der Wissenschaft, in denen die QFT-Methoden angewendet werden können und die Beschreibung der experimentellen Daten liefern, sind die Korrelationsfunktionen. Sie können natürlich als Pfadintegral ausgedrückt werden. Das Pfadintegral selbst bietet jedoch nur eine formale Lösung, und für die praktischen Berechnungen muss eine effiziente Methode für seine Bewertung gefunden werden. Die Standardansätze zur Bewertung des Pfadintegrals umfassen Anwendungen der Monte-Carlo-Methoden und verschiedene störende Erweiterungen. Alle diese Methoden sind nur begrenzt anwendbar: Monte-Carlo-Methoden erfordern die positive Definition der Verteilungsdichte, und störende Expansionen sind im Allgemeinen divergierende asymptotische Reihen. In diesem Projekt wurden die alternativen Ansätze für das Pfadintegral untersucht, das zu den konvergenten Erweiterungen führt. Die konvergenten Erweiterungen wurden für eine Vielzahl von Modellen entwickelt, darunter Matrixmodelle, die für die Beschreibung der zweidimensionalen Quantengravitation relevant sind, Gittermodelle, die kritische Phänomene beschreiben, und Tensormodelle, die für die Datenanalyse anwendbar sind. Diese konvergenten Erweiterungen geben uns gleichzeitig neue robuste Berechnungsschemata und ermöglichen ein Verständnis der analytischen Strukturen von QFT-Modellen.