Geometrie der Diskreten Copulas zur Wettervohersage

Copulafunktionen sind ein flexibles Werkzeug um das Verhalten von Abhängigkeiten zwischen Zufallsvariablen zu beschreiben und finden daher vor allem in der angewandten Statistik ein breites Anwendungsspektrum. Eine Copula ist definiert als eine Verteilungsfunktion auf dem d-dimensionalen Einheitswürfel mit gegebenen Randverteilungen. Die gemeinsame Verteilungsfunktion eines beliebigen d-dimensionalen Zufallsvektors kann mittels einer d-dimensionalen Copula durch die Fixierung des univariaten Rand der Verteilung beschrieben werden. Während diese Copula im stetigen Fall eindeutig auf dem gesamten Einheitshyperwürfel bestimmt ist, ist die Eindeutigkeit im diskreten Fall nur auf einer echten Teilmenge gegeben. Diese Einschränkung führte zu der Einführung des Begriffs diskreter Copulabeschränkungen von Copulafunktionen auf einem uniforme Gitter ihrer Domäne. Trotz ihrer wichtigen mathematischen Eigenschaften und ihrer Bedeutung in der empirischen Modellierung in den angewandten Wissenschaften, ist das gesamte Potential Multivariater Diskreter Copulas (MDCs) noch nicht ausreichend erforscht. Ziel dieses Projekts ist es, die Geometrie von MDCs zu erforschen und zu definieren um ihre Anwendung auf Problemestellungen in der Wettervorhersage zu ermöglichen, insbesondere im Kontext des EnsemblePostprocessingsvon Wettervorhersagen. Unser angestrebtes Forschungsziel ist es, durch die Untersuchung der Geometrie von MDCs neue Methoden zur Wettervorhersage zu entwickeln, welche die folgenden beiden Probleme lösen: (1) die Kombination von Wettervorhersagen in verschiedenen Modellen und Gebiete und (2) den Umgang mit wiederholenden Werten wie kein Regen in Ensemble Vorhersagen. Unsere Forschung wird auf einer geometrischen Beschreibung und einem statistischen Verständnis der Seiten und Ecken des Polytops der MDCs basieren. Unser Projekt wird die fundamentalen Fragen im Zusammenhang mit den mathematischen und statistischen Eigenschaften von MDCs beantworten und die Anwendung dieser Funktionen für neue Wettervorhersageensembles ermöglichen. Die Beantwortung dieser Fragen verlangt innovative Forschungsstrategien in den Bereichen der diskreten Geometrie, Statistik und Wettervorhersage. Der interdisziplinäre Ansatz wird den Status Quo in diesen Bereichen vorantreiben und neue Verbindungen zwischen ihnen aufzeigen. Des Weiteren wird dieses Projekt durch die Anwendung der entwickelten Methodenauf Wettervorhersagen eines regionalenösterreichischen Ensemblesystem direkt zur Entwicklung der Wettervorhersage in Österreich beitragen. Die theoretischen Aspekte des Projekts werden am Massachusetts Institute of Technology (MIT, USA) unter der Aufsicht von Dr. Caroline Uhler behandelt. Die Anwendung der erforschten MDCs in der probabilistischen Wettervorhersage wird an der Zentralanstalt für Meteorologie und Geodynamik (ZAMG, Österreich) unter der Aufsicht von Dr. Yong Wang stattfinden. Zusätzlich wird dieses Projekt von der internationalen Zusammenarbeit österreichischer und ausländischer Institutionen profitieren und neue Kooperationen etablieren.

Statistische Modelle beschreiben in einer mathematischen Weise den Einfluss verschiedenster Faktoren auf die Unsicherheit eines Phänomens. Meine Forschung fokussiert sich auf die Analyse einer speziellen Klasse der statistischen Modelle welche die Interaktion der Faktoren miteinander beschreibt. Diese Modelle basieren auf mathematischen Copulas. Das Ziel des Erwin-Schrödinger Projekts war die Untersuchung der Eigenschaften von mathematischen Objekten, den diskreten Copulas um sie für andere, der angewandten Forschung angehörigen Anwendungen anwendbar zu machen. Dieses Projekt beantwortet die fundamentale Frage der mathematischen und statistischen Eigenschaften diskreter Copulas und erlaubt die Anwendung auf neue, herausfordernde Gebiete. Das Projekt hat dazu beigetragen eine Brücke zwischen Wissenschaftsfeldern zu schlagen die in der Form nicht existent war, nämlich zwischen Diskreter Geometrie, Statistik und Meteorologie. Dazu wurde in einem ersten Schritt unbekannte geometrischen Objekte aus der Klasse der diskreten Copulas mit den gewünschten Eigenschaften für meteorologische Anwendungen untersucht. In einem weiteren Schritt wurden die geometrischen Eigenschaften weiterentwickelt für statistische und reelle Probleme wie z.B. Niederschagssummen für Hydrologische Anwendungen. Im dritten Schritt wurden die diskreten Copulas für die Verbesserung der Wettervorhersage in Österreich angewandt. Diese interdisziplinäre Forschung im Rahmen des FWF Projekts ist das Resultat einer kollaborativen Forschung mit leitenden Wissenschaftlern auf dem Gebiet der diskreten Geometrie, Statistik und Wettervorhersage. Neben der Kollaboration am Massachusetts Institute of Technology (MIT, USA), mit Prof. Caroline Uhler, erlaubte das Projekt eine gemeinsame Forschung mit Wissenschafltern der Zentralanstalt für Meteorologie und Geodynamik (ZAMG, Austria) um Fragestellungen der probabilistischen Wettervorhersage zu untersuchen. Diese Verbindungen welche im Rahmen des FWF Projekts geknüpft wurden werden in den kommenden Jahren in fruchtvollen Diskussionen und gemeinsamen Publikationen und Folgeprojekten resultieren. Weiters konnte ein neues und spannendes Wissenschaftsgebiet eröffnet werden.