Lacunarität und Diophantische Approximationen

Die Lösbarkeit DiophantischerGleichungen ist eine derältesten Probleme derMathematik. BereitsPythagoras suchte Zahlen,sodass deren Quadrat sich als Summe zweier Quadrate schreiben lässt. Diese Frage lässt sich als Diophantische Gleichung x^2+y^2=z^2 formulieren. Oft ist es schwer eineDiophantischeGleichungzu lösen. Mein Forschungsinteressegilt verschiedenen Fragen über dieLösungen einer DiophantischenGleichung. Hierzu möchte ich diese zusammen mit Mathematikern der University of British Columbia (Michael Bennett, Dragos Ghioca, etc.) sowie mit Mathematikern der TU Graz nebst der Universität Salzburg (Clemens Fuchs, Robert Tichy, etc.) mit zeitgemäßen Methoden untersuchen. Vieleaushistorischer Sicht interessante Diophantische Gleichungen sind von der Bauart f(x)=g(y), wobei f und g eine feste Anzahl an Termen habe, und insbesondere im Falle von Interesse, dass beide wenig Terme haben. Solche f bzw. g bezeichnen wir als lakunär. Lakunäre Polynome sind unterverschiedenen Gesichtspunktenuntersucht worden.Ichbin an deren Verhalten bezüglich DarstellbarkeitalsKomposition(anderer Polynome) interessiert. Derartige Fragen wurden für allgemeine Polynome, genauso wie Anwendungeninverschiedenen BereichenderMathematik, vonvielen Mathematikern studiert.HiermitbegannderAmerikaner J.F.Ritt in den 1920ern und erzielte Ergebnisse von fundamentaler Bedeutung. Ich möchte neue Methoden benutzen (diese stammen von meinen Arbeiten zu Kompositionen von Überdeckungenvon Kurven, welche man alsverallgemeinerte rationale Funktionen betrachten kann) um damit neue Einsichten über lakunäre Polynome zu gewinnen. Zu meinen Interessen zählen auch Querverbindungen zu anderen Teilbereichender Mathematik, wie z.B. der komplexenAnalysis,der arithmetischen Dynamik usw. Zudembin ichan modernenMethoden zum Lösenvon Diophantischen Gleichungen interessiert. Die Fähigkeit Diophantische Gleichungen aufzulösen hat sich in den letzten Jahren wesentlichverbessert, wassowohl Fortschritten in der Theorie als auch der Weiterentwicklung von Computer und Algorithmen geschuldet ist. Im Falle der Gleichungen vom Typ f(x)=g(y), mit lakunären f und g, suche Ich scharfe Resultate über die Anzahl der Lösungen oder versuchen diese komplett zu lösen. Solche Fragen sind von zentralen Interesse für Zahlentheoretiker. Die Zahlentheorie hat heute Anwendungen in multiplen Teilgebieten der Mathematik und auch in der Kryptographie.