Die Borel Abbildung in Räumen ultraholomorpher Funktionen

Räume von ultradifferenzierbaren Funktionen sind Teilklassen aller unendlich oft differen- zierbaren Funktionen. Die Ableitungen der Funktionen in diesen Klassen erfüllen spezielle Wachstumseigenschaften. In der Literatur werden zwei unterschiedliche Zugänge betrachtet, entweder mittels Gewichtsfolgen oder Gewichtsfunktionen. Bei jedem Zugang unterscheidet man zwischen dem Beurling-Typ und dem Roumieu-Typ und jeder Typ kann in den quasi- und den nicht-quasianalytischen Fall unterteilt werden. Vor Kurzem haben wir Klassen eingeführt, die über (Einparameter-) Gewichtsmatrizen defi- niert sind. Wir haben gezeigt, dass dieser Zugang eine Verallgemeinerung darstellt, das heißt, dass man sowohl Klassen definiert durch Gewichtsfolgen als auch Klassen definiert durch Gewichtsfunktionen beschreiben kann. Aber man kann damit noch mehr Räume beschreiben und mit Hilfe dieser neuen Methode kann man Resultate von einem Zugang auf den anderen übertragen bzw. Resultate für beide Zugänge gleichzeitig beweisen. Analog zu den ultradifferenzierbaren Klassen werden in der Literatur auch Räume ultraholo- morpher Funktionen betrachtet (definiert über Gewichtsfolgen). Auch diese Klassen können in quasi- und nichtquasianalytische unterteilt werden. Um die (Nicht)-Quasianalytizität, das heißt die Injektivität, und die Surjektivität der Borel Abbildung zu untersuchen und zu charak- terisieren sind einige Wachstumsindizes der Gewichtsfolgen eingeführt und studiert worden. Dabei werden Klassen betrachtet, die über stark reguläre Gewichtsfolgen definiert sind. Dieses Forschungsprojekt hat zwei zentrale Themen. Einerseits sind einige Probleme die In- jektivität und Surjektivität der Borel Abbildung und der Beziehungen zwischen den verschie- denen Wachstumsindizes betreffend ungelöst, und zwar selbst noch für den Roumieu-Fall definiert über Gewichtsfolgen. Der Beurling-Fall ist bis jetzt noch nicht so genau untersucht worden und es stellt sich die Frage, ob und bzw. welche Resultate vom Roumieu- auf den Beurling-Fall übertragen werden können. Ein weiteres Ziel ist, die starken Voraussetzungen an die Gewichtsfolge abzuschwächen. Das zweite Thema ist, die bekannten Resultate vom Gewichtsfolgen- auf den allgemeineren Gewichtsmatrizen-Fall zu übertragen. Im Vordergrund steht dabei der Gewichtsfunktionen- Fall. Ultraholomorphe Klassen definiert über Gewichtsmatrizen bzw. funktionen sind noch nicht untersucht worden und in diesem Fall kann man im Allgemeinen nicht mehr mit stark regulären Gewichtsfolgen arbeiten. Außerdem sind Theoreme und Methoden, die im Ge- wichtsfolgen-Fall wichtig gewesen und angewendet worden sind, im Allgemeinen nicht mehr gültig. Der Antragsteller wird mit Prof. Javier Sanz und seinem Forschungsteam am Departamento de lgebra, Anlisis Matemtico, Geometra y Topologa, Facultad de Ciencias, Paseo de Belén 7, 47011 Valladolid (Spain), zusammenarbeiten.

Während der zweijährigen Auslandsphase, die an der Universidad de Valladolid (ESP) mit dem Gastgeber Prof. Javier Sanz Gil und seinem Forschungsteam verbracht worden ist, hatte dieses Forschungsprojekt das Ziel, Probleme betreffend der Injektivität und Surjektivität der (asymptotischen) Borel Abbildung in Räumen ultraholomorpher Funktionen zu studieren. Einerseits ist es das Ziel gewesen, diese Abbildung in Klassen, die durch eine Gewichtsfolge definiert sind, zu studieren und andererseits neue ultraholomorphe Klassen, die durch eine Gewichtsfunktion definiert sind, einzuführen. Schließlich, während der einjährigen Rückkehrphase nach Wien, ist es das Ziel gewesen, für ultraholomorphe Klassen analog zum ultradifferenzierbaren Fall das "Exponentialgesetz" zu beweisen und Anwendungen dieses Resultats zu finden. Während unserer Forschungsarbeiten ist es uns möglich gewesen, die bestehenden Kenntnisse zur Injektivität und Surjektivtät der (asymptotischen) Borel Abbildung im ultraholomorphen Gewichtsfolgenfall zu erweitern und auszubauen. Dabei sind auch Wachstumsindizes genau studiert worden und es ist eine Verbindung zwischen diesen und dem Konzept der so genannten O-regulären Variation hergestellt worden. Weiters sind auch enge Zusammenhänge zu ähnlich auftretenden Wachstumsbedingungen, die in anderen Bereichen der Funktionalanalysis bei gewichteten Funktionenräumen verwendet werden, entdeckt und aufgezeigt worden. Wir haben ultraholomorphe Klassen, die mittels einer Gewichtsfunktion definiert sind, eingeführt. Für solche neuen Klassen haben wir Ausdehnungsresultate bewiesen, neue Wachstumsindizes für Gewichtsfunktionen eingeführt und für diese Indizes ebenfalls eine Verbindung zur O-regulären Variation hergestellt. Dabei ist auch der im Allgemeinen große Unterschied zwischen der starken Nichtquasianalytizität im Gewichtsfolgen- und Gewichtsfunktionenfall genau untersucht worden. Bei der Verwendung von Klassen definiert mit Gewichtsfunktionen erhält man automatisch als Folgerung gemischte Ausdehnungsresultate für Gewichtsfolgen. Betreffend der Surjektivität der Borel Abbildung haben wir auch Resultate mit einem kontrollierten Verlust an Regularität zeigen können. Dabei haben wir sowohl den ultraholomorphen Gewichtsfunktionenfall als auch den Gewichtsfolgenfall behandelt und in diesem Zusammenhang auch neue gemischte Wachstumsindizes eingeführt. Man kann erwarten, dass diese neuen Indizes auch in anderen Bereichen der Funktionalanalysis, die gewichtete Funktionenräume behandeln, Bedeutung haben werden. Im Falle von ultradifferenzierbaren Klassen definiert mit Gewichtsfunktionen haben wir Resultate mit einem kontrollierten Verlust an Regularität sogar für die allgemeinere Whitney-Jet Abbildung zeigen können. Betreffend der Injektivität der Borel Abbildung im ultradifferenzierbaren Fall (Quasianalytizität) ist es möglich gewesen, genauer die bekannte Abweichung bzw. Nichterfüllung der Surjektivität zu klassifizieren und zu sehen, "wie groß diese Abweichung ist". Die gezeigten Resultate liefern auch neue Ideen um das noch offene Problem der vollständigen Charakterisierung des Bildes der Borel Abbildung im quasianalytischen Fall zu lösen. In einer gerade entstehenden Arbeit wird das Exponentialgesetz für ultraholomorphe Klassen behandelt. Eine konkrete Anwendung dieses Resultats wird gegeben durch den Beweis eines Ausdehnungsresultats für Klassen ultraholomorpher Funktionen (mittels Gewichtsfunktion) in mehreren Variablen welche auf Polysektoren definiert sind.