Inverse Probleme für Quantengraphen

Quantengraphen sind Differentialoperatoren auf metrischen Graphen und bilden mathematische Modelle für zahlreiche Probleme aus Physik, Chemie und den Ingenieurwissenschaften wie z.B. Quantendrähte, photonische Kristalle, dynamische Systeme oder dünne Wellenleiter. Die mathematische Untersuchung von Quantengraphen stellt eine besondere Herausforderung dar, weil ihre Eigenschaften zwischen denen von gewöhnlichen und partiellen Differentialoperatoren liegen, sie sie sich in mancher Hinsicht aber gänzlich anders verhalten. Verantwortlich hierfür ist unter anderem der starke Einfluss der Geometrie des Graphen. Der Schwerpunkt dieses Forschungsprojekts liegt auf sogenannten inversen Problemen. Es beschäftigt sich mit der Frage, welche Informationen über das System aus Messdaten auf dem Rand des Graphen rekonstruiert werden können. Diese Randdaten werden mathematisch durch die sogenannte Titchmarsh-Weyl- Funktion des Graphen beschrieben. Bislang wurde diese Frage nur für Spezialfälle beantwortet, allerdings ist bekannt, dass im Gegensatz zu gewöhnlichen oder partiellen Differentialoperatoren eine Vielfalt von Situationen auftreten kann. Es ist das Ziel dieses Forschungsprojekts ein systematisches Verständnis für den Zusammenhang zwischen der Titchmarsh-Weyl-Funktion und dem Quantengraphen zu erlangen. Dies erfordert anspruchsvolle Techniken aus der Operatortheorie sowie die detaillierte Untersuchung analytischer und geometrischer Eigenschaften.