Diophantische Approximation und verwandte Gebiete

Verteilung modulo 1 und Diophantische Approximation sind zentrale Kernthemen der Zahlentheorie und haben insbesondere in der österreichischen mathematischen Geschichte lange Tradition. Der mittlerweile verstorbene Edmund Hlavka und Wolfgang Schmidt sind besonders als Repräsentanten auf diesen verwandten Forschungsgebieten hervorzuheben. Das beantragte Projekt soll aktuelle spezifische Fragestellungen zu diesen Themenkomplexen behandeln. Insbesondere soll auf die Verbindung zwischen diesen Themengebieten vertiefend eingegangen werden. Besonders die metrische Theorie der diophantischen Approximation, auf Grundlage des von Felix Hausdorff eingeführten Dimensionsbegriffs, im euklidischen Raum sowie auf komplexeren Flächen, ist ein zentraler Punkt für das Projekt. Das Studium dieser Theorie erfreut sich zurzeit großer Popularität, wichtige Arbeiten stammen von Beresnevich, Bernik, Bugeaud, Budarina, Dickinson um nur einige zu nennen. Weiters sollen Eigenschaften von sogenannten Liouville-Zahlen untersucht werden, die in engem Verhältnis zur Diophantischen Approximation stehen. Ein von Kurt Mahler gestelltes offenes Problem soll als Verbindungsglied zwischen der metrischen Theorie und Liouville-Zahlen fungieren. Der andere zentrale Punkt des Projekts des Projekts betrifft Verteilung modulo 1. Diese steht in engem Zusammenhang zu numerischer Integration, welche auch außerhalb der Zahlentheorie in Naturwissenschaft und Technik von großer Bedeutung ist. Speziell soll im Projekt auf das Studium von schnell wachsenden Folgen modulo 1 eingegangen werden. Ferner sollen spezielle Aspekte untypischer Verteilungen sollen behandelt werden. Dabei sind vor allem Pisotzahlen als Gegenstand der Forschung zu nennen. Als gängige Methoden in den angeführten Bereichen sind klassische Resultate aus der Geometrie der Zahlen, einer Verschmelzung aus Geometrie und Zahlentheorie, zu nennen. Dazu zählen die Gitterpunktsätze von Minkowski und diverse Resultate über Kettenbrüche und deren Verbindung zur rationalen Approximation.

Diophantische Approximation beschäftigt sich im Kern mit Annäherung an reelle Zahlen auf der Zahlengerade durch rationale Zahlen, also Brüche. In jüngerer Vergangenheit ist insbesondere die sogenannte metrische Theorie, die in einem gewissen Sinn beschreibt wie viele reelle Zahlen sich gut oder schlecht durch Brüche approximieren lassen, ein beliebtes Forschungsgebiet geworden. Teilweise liegt die begründet in praktischen Anwendungen. Neben klassischen Anwendungen der Zahlentheorie in Chryptographie ist hierbei spezifisch das sogenannte interference alginment in der Datenübertragung hervorzuheben. Ich habe persönlich im Zuge meines Projekts an neuen Ergebnissen zur metrischen Diophantischen Approximaion mitgearbeitet, mein Paper in Kollaboration mit M. Hussain (Bendigo, Australien) und D. Simmons (York, UK) widmet sich grob gesprochen der metrischen Theorie der rationalen Annäherung an Hyperflächen. Weiters habe ich mich mit der klassischen Geometrie der Zahlen beschäftigt, ein Gebiet das zwei bedeutende Grundpfeiler der Mathematik, nämlich Zahlentheorie und Geometrie, miteinander verbindet und in Österreich langjährige Tradition hat. Ein konkretes Ergebnis von mir aus der Projektzeit sind äquivalente Formulierungen der Mahlerschen Klassifikation reeller Zahlen, beispielsweise betreffend simultane rationale Approximation von ganzzahligen Potenzen der reellen Zahl.