Numerik : nichtlokale Potentiale und hoch-oszillierende PDEs

Nichtlokale Wechselwirkungen sind in der (Quanten-) Physik allgegenwärtig, ihre numerische Auswertung erfordert Genauigkeit und Effizienz. Typischerweise haben sie die Form eines Faltungsintegrals, wie etwa das Newtonsche Potential 1/x. Ziel dieses Projekts ist die Entwicklung effizienter und genauer numerischer Algorithmen für die Auswertung nicht-lokaler Potentiale sowie Untersuchung der Numerik von Mittelungsverfahren hoher Ordnung für hoch- oszillatorische Systeme, z.B. stark eingeschlossene Quantenpartikelsysteme mit weitreichenden Wechselwirkungen, welche durch nicht-lokale Potentiale modelliert werden. Die Projektpartner sind Leslie Greengard (Courant Inst., NYU), Shidong Jiang (NJIT New Jersey), Florian Méhats (IRMAR U. Rennes) und Norbert J. Mauser (WPI U.Wien). Für stark eingeschlossene Systeme treten bedeutende numerische Herausforderungen auf, da hohe Anisotropie stark oszillierendes Verhalten sowohl in Orts- als auch in Zeit-richtung verursacht. Hier ist die Expertise von Méhats und Mauser hilfreich. Singularitäten in Konvolutionskernen müssen mit besonderer Vorsicht behandelt werden, auch verlangen weitreichende Effekte (mit langsamem Abklingen) ein passendes Abschneideverfahren. Wir werden solche Methoden entwickeln und rigoros numerisch analysieren. State-of-the-art sind Nichtuniforme Fourier Transformation (NUFFT) und Gaussian Sum (GS) - Methoden, die vor kurzem vom PI eingeführt und mit den Projektpartnern weiterentwickelt wurden. Zusammen mit Greengard, Jiang und Mauser werden diese Methoden verbessert, ausgeweitet und implementiert. Schnelle Oszillationen erzwingen normalerweise starke Einschränkungen der Schrittweitenwahl, um die Langzeitdynamik solcher steifen Systeme zu erfassen. Viele Verfahren wurden entwickelt, um ausgehend von Asymptotischer Analysis den durch schnelle Oszillationen verursachten hohen Berechnungsaufwand zu reduzieren. Geometrische Integratoren, einschliesslich Stroboscopic Averaging Method (SAM) und Multi-Revolution Composition Methods (MRCM), sind vielversprechend für generelle hoch-oszillatorische Systeme, z.B. stark eingeschlossene kinetische Gleichungen. Hier ist die Expertise der Pioniere Méhats und Philippe Chartier in Rennes wichtig. Außerdem treten im Fall von eingeschlossenen Systemen, die nichtlokale Potentiale enthalten, beide Probleme zusammen auf. Die wesentlichen Ziele des Projekts sind: Analytische und numerische Untersuchung von zwei-komponentigen rotierenden dipolaren BEC Umfassende Untersuchung von Nichtlokalen Potential-Lösern mit Erweiterungen Mittelungsverfahren hoher Ordnung für kinetische Gleichungen Analysis und Numerik für eingeschlossene Quantensysteme mit magnetischen Feldern 1

Dieses Projekt befasste sich mit Entwicklung, Analysis und Anwendungen von schnellen Algorithmen für nichtlokale Faltungs-Potentiale, welche häufig in Quantenphysik, Quantenchemie, Fluiddynamik, Materialwissenschaften, elektronischer Strukturberechnung, Kinetischer Theorie, Biologie und Kosmologie usw. auftreten. Es wurden erfolgreich solche Faltungspotentiale entwickelt, mit optimaler Effizienz, Genauigkeit (die bis hin zur Maschinengenauigkeit reichen kann) und Flexibilität zu einer Bandbreite von anderen Potentialen auf (un)strukturierten Gittern. Eine erste Anwendung auf dreidimensionale dipolare BEC zeigte hervorragende Verbesserungen, z. B. benötigt ein typischer Simulationslauf jetzt nur 2 Minuten auf einem Laptop, statt der12 Stunden auf einem Parallel- Cluster, die das bisherige Verfahren benötigte. In Kombination mit parallelen Computing- Verfahren sind Simulationen von zeitabhängigen Problemen in 3 reellen Raumdimensionen möglich, die Forschern und Ingenieuren viele experimentelle und rechnerische Ressourcen ersparen. Das Projekt wurde erfolgreich durchgeführt am Courant-Institut der NYU, dem erst- platzierten Institut für Angewandte Mathematik, am IRMAR Rennes, einem der stärksten französischen Mathematikzentren außerhalb von Paris, sowie mit einer Rückkehrphase am WPI Wien, einem interdisziplinären Center of Excellence.