Methoden Dynamischer Systeme in der Hydrodynamik

In diesem Forschungsprojekt geht es um mathematische Modelle, welche die Ausbreitung von Wasserwellen unter dem Einfluss von Gravitation beschreiben. Genauer gesagt werde ich mich auf nichtlineare, dispersive Gleichungen konzentrieren, die als Näherung der Eulergleichungen für homogene, reibungsfreie und inkompressible Flüssigkeiten mit freiem Rand auftreten. Die Hauptziele dieses Projekts sind: i. die Lücke zwischen zwei bekannten Modellen für Flachwasserwellen, der Korteweg-de Vries (KdV) und der Camassa-Holm (CH) Gleichung, zu schließen. ii. sogenannte traveling waves (oder Wanderwellen) einer der CH entsprechenden Gleichung für Oberflächenwellen zu untersuchen. Bezüglich des Forschungsschwerpunktes (i) habe ich vor, eine neue Modellgleichung mit Hilfe von asymptotischen Entwicklungen bezüglich zweier Parameter herzuleiten, welche die Wellenamplitude, Wellenlänge und Wassertiefe miteinander in Beziehung setzen. Diese neue Gleichung soll dazu beitragen das Verständnis von Flachwasserwellen zu vertiefen, indem sie versucht ihren Anwendungsbereich verglichen mit der KdV Gleichung zu vergrößern, und bestrebt ist die technische Komplexität zu reduzieren, die man der CH Gleichung zuschreibt. Hinsichtlich des Projektzieles (ii) werde ich solitäre und periodische Oberflächenwelle mit moderater Amplitude in Flachwasser untersuchen. Ich plane, sowohl die Abhängigkeit der Lösungen von der Ausbreitungsgeschwindigkeit zu untersuchen, wie auch qualitative Eigenschaften bezüglich ihrer Form und Aspekte ihrer Stabilität (orbital stability) zu klären. Um ihre Existenz zu zeigen beabsichtige ich Techniken der Theorie dynamischer Systeme zu verwenden und auf einem Ansatz aufzubauen den ich mit Prof. Gasull bereits in unserem gemeinsamen Projekt begonnen habe. Aus diesem Grund möchte ich meine Arbeit an seiner Heiminstitution fortführen, der Forschungsgruppe für Dynamische Systeme (GSD) an der Fakultät für Mathematik der Autonomen Universität Barcelona. Ich bin überzeugt davon, dass die Zusammenarbeit mit Prof. Gasull, einem führenden Experten in diesem Bereich und Kompetenzträger der GSD, sehr förderlich für meinen wissenschaftlichen Fortschritt ist und eine Bereicherung für meine weiteren Forschungsleistungen sowie letztendlich für meine erfolgreiche Habilitation nach meiner Rückkehr nach Wien, darstellt.

In diesem Projekt geht es um mathematische Modelle, welche für die Beschreibung und das Verständnis von der Ausbreitung von Wasserwellen besondere Relevanz haben.Der Hauptfokus dieses Forschungsprojektes liegt auf sogenannten Wanderwellen, welche die Eigenschaft haben, sich bei konstanter Geschwindigkeit in gleichbleibender Richtung fort zu bewegen, ohne dabei ihre Form zu verändern. Diese Art von Wellen treten zum Beispiel in der Form von periodischen oder lokalisierten Wellen auf, und sind allgemein bekannte und beobachtbare Phänomene. Um die Validität und Anwendbarkeit eines mathematischen Modells zu rechtfertigen ist es erstrebenswert zu zeigen, dass die Modellgleichungen die Existenz solcher Wanderwellen zulassen - das war eines der Hauptziele, welches wir in diesem Projekt erreicht haben. Weiters konnten wir ein besseres Verständnis darüber erlangen, welche Rolle symmetrische Wellenprofile in diesem Kontext haben, und wie die Wellenlange und Amplitude von periodischen Wellen miteinander zusammen hangen. Wir haben außerdem herausgefunden, dass sich für Modellgleichungen, welche Wellen mit größeren Amplituden beschreiben, vollkommen neuartige Typen von Wellenprofilen ergeben, welche sich durch Modelle für Wellen mit nur moderater Amplitude nicht beschreiben lassen. Um zu diesen Resultaten zu gelangen, haben wir verschiedene neue mathematische Instrumente entwickelt, wobei wir sowohl auf abstrakte Resultate aus der Theorie der Dynamischen Systeme, als auch auf Techniken welche im Kontext von Wasserwellen entwickelt wurden, zurück gegriffen haben.Die Weiterentwicklung dieser mathematischen Instrumente und die Herleitung weiterer Modellgleichungen, welche das komplexe Zusammenspiel von verschiedenen physikalischen Faktoren, die in der Ausbreitung von Wasserwellen auftreten, in Betracht ziehen (wie zum Beispiel komplizierte Wechselwirkungen zwischen Wellen und Strömungen im Wasser), ist Gegenstand meiner gegenwärtigen und zukünftigen Forschungsaktivitäten.