Darstellungen und Graduierungen auflösbarer Lie Algebren

Das Thema gehört zu Lie-Theorie, Darstellungstheorie und Gruppentheorie. Es ist teilweise motiviert von Ergebnissen über affine kristallografische Gruppen und der Struktur endlicher Gruppen und endlich dimensionaler Algebren. Das 18. Hilbertsche Problem über Raumgruppen hat die algebraische Charakterisierung von kristallografischen Gruppen initiiert. Dieses Problem wurde dann verallgemeinert zu den komplizierteren, sogenannten affin kristallografischen Gruppen. In diesem Zusammenhang wurde J. Milnors Vermutung über virtuell-polyzyklische Gruppen und affin-flache Mannigfaltigkeiten widerlegt indem man explizite Gegenbeispiele auf der Ebene von Lie- Algebren gefunden hat. Solche Lie Algebren lassen keine treue Darstellungen ``kleiner`` Dimension zu, und es ist bekannt, dass Gegenbeispiele dieser Vermutung gerade den Lie Algebren die keine regulären eins-Kozykeln einer gegebenen Dimension zulassen, entsprechen. Die Untersuchung der Konsequenzen der Existenz von regulären Endomorphismen lässt sich auch durch andere Ergebnisse in der Theorie der Gruppen und Lie-Ringen motivieren. Zum Beispiel der Beweis der Nilpotenz des Frobeniuskerns von Higman und Thompson benutzt reguläre Automorphismen von Primzahlordnung. Ein elementarer Beweis der Koklassevermutungen für p-Gruppen von Shalev und Zel`manov basiert auf Ergebnissen der periodischen Derivationen und Automorphismen von Lie-Ringen. Verschiedene andere Regularitätsergebnisse sind aus Jacobsons Satz über schwach abgeschlossene Mengen von nilpotenten Operatoren erhalten worden. Mein Ziel ist es, zu einem besseren Verständnis der allgemeinen Probleme in diesem Gebiet beizutragen. Ich denke, dass die folgenden drei Vorschläge gute Ausgangspunke sind. Zuerst möchte ich das auflösbare Radikal einer Lie-Algerba mit charakteristischen Idealen niedriger Nilpotenzklasse approximieren, um treue Darstellungen dessen Grad von einem Polynom in natürlichen Invarianten der Lie-Algebra beschränkt ist, zu erhalten. Dies wird Einbettungssätze, zerfallende Erweiterungen, universelle einhüllende Algebren und Quotientenkonstruktionen benutzen. Zweitens möchte ich die Ergebnisse von periodischen Derivationen von Kostrikin-Kuznetsov und Burde- Moens erweitern, indem ich verallgemeinerte Engelbedingungen und Gruppendeterminanten betrachte. Zuletzt möchte ich die allgemeinen Schranken für die Nilpotenzklasse (und andere Invarianten, in Charakteristik Null) endlichdimensionaler Lie Algebren mit regulärer Derivation verallgemeinern.

Mathematische Objekte sind oft nicht so kompliziert, wie man denkt. Es ist also wichtig, eine Methode zu entwickeln, mit der man herausfinden kann, ob ein Objekt X irgendwie klein oder einfach ist. Wir könnten, zum Beispiel, versuchen zu zeigen, dass X endlich ist oder dass X durch kleine Matrizen dargestellt werden kann. Die beste Methode ist oft eine Approximation von X durch kleinere Objekte.Genau dies haben wir in diesem Projekt gemacht.(a.) Wir haben zuerst eine alte geometrische Vermutung betrachtet, die sich um Ornament- gruppen und kristallographische Gruppen dreht. Die Vermutung sagt aus, dass X immer mit kleineren Objekten L approximiert werden kann, aber es wurde gezeigt, dass ein solches Objekt L manchmal nicht existiert. (In diesem Kontext sagen wir, dass L klein ist, wenn L mit kleinen Matrizen dargestellt werden kann.) Wir haben im Projekt gezeigt, dass L klein ist, wenn L eine gute Symmetrie hat.(b.) Die beschriebene Approximation L ist ein Lie-Ring. Wir konnten in einem Problem zeigen: Wenn L eine gute Symmetrie hat, dann ist L endlich. In einem anderen Problem haben wir gezeigt: L kann durch ein Objekt N, das noch kleiner ist, approximiert werden. In beiden Problemen haben wir dann gezeigt, dass X selbst auch klein ist.Ein Hauptergebnis des Projektes ist die Entwicklung einer Methode, die verschiedene klassische Probleme gleichzeitig löst. Dies ist gut, weil wir somit wissen, dass viele (und alte) Probleme gewissermaßen eng zusammenhängen. Ein weiterer Vorteil ist, dass wir dadurch erwarten können, dass viele ähnliche Probleme mit gleichartigen Techniken gelöst werden können.