Nicht kompakte Topologische Schiefprodukte

Topologische Schiefprodukte sind stetige Gruppenaktionen, die eine kompakte Transformationsgruppe (d.h. einem kompakten Raum mit einer stetigen Gruppenaktion) mit einer lokalkompakten topologischen Gruppe erweitern und wobei die Gruppenaktion mit der Translation auf der erweiternden Gruppe kommutiert. Schiefprodukte treten natürlicherweise bei diskreten Transformationsgruppen (Aktionen der ganzen Zahlen) auf, aber auch in Zusammenhang mit kontinuierlichen Transformationsgruppen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Das Hauptwerkzeug in der Theorie kompakter Transformationsgruppen, die Ellis Gruppe, steht bei nicht kompakten Transformationsgruppen nicht zur Verfügung. Schiefprodukte sind jedoch weitaus besser studierbar als allgemeine Gruppenaktionen auf nicht kompakten Räumen. Den Ausgangspunkt bildet die Theorie kompakter minimaler Transformationsgruppen (d.h. der Orbit eines jeden Punkts ist dicht im kompakten Raum), die auf die kompakte Transformationsgruppe in der Basis des Schiefprodukts angewandt wird. Diese Theorie stellt Struktursätze unter verschieden starken Voraussetzungen (distal, punkt-distal, nur minimal) zur Verfügung. Das Ziel dieses Projekts ist die Weiterentwicklung der darauf aufbauenden Strukturtheorie topologischer Schiefprodukte distaler Transformationsgruppen hin zu allgemeineren Situationen. Anwendungen dieser Theorie können sich in all jenen Wissensgebieten ergeben, die auf mathematische Modellierungen durch nicht kompakte dynamische Systeme zurückgreifen.

Die Theorie der dynamischen Systeme abstrahiert die Beobachtung einer zeitlichen Entwicklung im mathematischen Begriff einer Gruppenaktion. Bei einer Gruppenaktion wird die Addition in der Zeitkoordinate (oder ihrer Verallgemeinerung in der mathematischen Struktur einer Gruppenoperation) in konsistenter Weise in die Transformation des Systems unter der zeitlichen Entwicklung übergeführt. Eine wesentliche Unterscheidung ist hier zwischen kompakten (d.h. beschränkten) und nicht kompakten Systemen zu treffen. In der topologischen Dynamik (hier sind alle Transformationen stetig) steht das Hauptwerkzeug, die Ellis Gruppe, nur für kompakte Systeme zur Verfügung. Dieses Forschungsprojekt beschäftigte sich mit einer wichtigen Klasse von nicht kompakten Systemen, mit topologischen Schiefprodukten. Topologische Schiefprodukte sind stetige Gruppenaktionen, die eine kompakte Gruppenaktionen mit einer lokalkompakten Gruppe (dieser Begriff beinhaltet die Zahlengerade oder den Euklidischen Raum) durch Produktbildung erweitern. Als wesentliche Eigenschaft von Schiefprodukten kommutieren die Gruppenaktion und die Translation in der erweiternden Gruppe. Aufbauend auf diese Eigenschaft können Schiefprodukte durch die Anwendung der Theorie kompakter minimaler Gruppenaktionen (d.h. der Orbit eines jeden Punkts ist dicht im kompakten Raum) studiert werden. Dies wurde in einem Vorprojekt mit der Anwendung des Furstenberg Struktursatzes für distale minimale Gruppenaktionen (d.h. zwei verschiedene Punkte können sich unter gemeinsamer zeitlicher Entwicklung nicht beliebig nahe kommen) ausgeführt. Die Zielsetzung diese Projekts war unter anderem die Verallgemeinerung dieses Resultats für punkt-distale minimale Gruppenaktionen, wobei die vorhin beschriebene Eigenschaft nur mehr für die Mehrzahl der Punkte zutrifft. Diese Verallgemeinerung konnte zwar nicht in voller Allgemeinheit erreicht werden, jedoch für eine bedeutende Klasse von Beispielen punkt-distaler minimaler Gruppenaktionen.