Wellenbrechung bei nichtlinearen Wellengleichungen

Nichtlineare Wellengleichungen sind ein zentrales Forschungsthema sowohl in der Mathematik als auch in der Physik. Ein faszinierendes Phänomen in diesem Zusammenhang, das auch mathematisch beschrieben werden kann, ist die Brechung von Wellen. Folglich stellt sich die Frage wie Lösungen nach der Brechung fortgesetzt werden können, wobei es generell 2 Möglichkeiten gibt. Auf der einen Seite die erhaltenden Lösungen, die die Energie erhalten, und auf der anderen Seite die verschwindenden Lösungen, die nach der Brechung konstant Null sind. Eine bekannte Wellengleichung im Zusammenhang mit Wellenbrechung ist die Camassa-Holm Gleichung, die ein Modell für Flachwasserwellen ist und viele, mathematisch interessante Eigenschaften besitzt. Eine spezielle Gruppe von Lösungen bilden die sogenannten spitzen Solitonenlösungen, die ein illustrierendes Beispiel dafür sind, wie man Lösungen nach der Brechung fortsetzen kann. Eine Verallgemeinerung ist das 2 Komponenten Camassa-Holm System, für das wir untersuchen wollen für welche Parameter Wellenbrechung auftritt und für welche nicht und wie Lösungen beschrieben werden können. Ein weiteres Beispiel einer Gleichung die Wellenbrechung aufweist, ist die Hunter-Saxton Gleichung, die als ein Modell für Liquid Kristalle dient. Für diese können einige erhaltende und verschwindende Lösungen explizit berechnet werden. Diese Gleichung ist ein Spezialfall des verallgemeinerten Hunter-Saxton Systems, für welches die Frage wann Wellen brechen, schon untersucht wurde. Daher werden wir versuchen erhaltende und verschwindende Lösungen zu beschreiben in den Fällen wo Wellenbrechung auftritt. Das dritte und letzte Beispiel im Zusammenhang mit der Brechung von Wellen, das wir studieren wollen, ist gegeben durch die nichtlineare variable Wellengleichung, für welche im Gegensatz zur Camassa-Holm und Hunter- Saxton Gleichung keine Lösung explizit bekannt ist. Hier können nur numerische Methoden genutzt werden um die Brechung von Wellen zu illustrieren. Bis jetzt wurden erhaltende Lösungen beschrieben und wir wollen diese dazu nutzen eine Lipschitz Metrik zu konstruieren. Eine weitere Frage ist wie man verschwindende Lösungen beschreiben kann.