Quasi-periodische Wellen in Fermi-Pasta-Ulam Ketten

Solitäre Wellen, d.h. lokalisierte Wellen, die ihre Form für alle Zeiten beibehalten, sind von großem praktischen als auch technologischen Interesse. Wellen solcher Art kommen in vielen physikalischen Teilgebieten vor, sie beschreiben verschiedenste Phänomene von der Wellenausbreitung von Tsunamis bis hin zu optischen Lichtpulsen in Glasfaserkabeln. Bis zur Mitte der 90er Jahre war man der Überzeugung, dass solitäre Wellen charakteristisch für so genannte vollständig integrable Hamiltonsche Systeme, z.B. die Korteweg-de Vries (KdV) Gleichung, sind. In den letzten 15 Jahren wurde jedoch klar, dass solitäre Wellen auch in vielen nicht-integrablen Systemen existieren. Fermi-Pasta-Ulam (FPU) Gitter bestehen aus ein-dimensionalen Ketten von Teilchen, deren Nächste-Nachbar- Wechselwirkung durch ein anharmonisches Potential gegeben ist. Solche Gitter liefern ein Modell, das im Grenzfall für große Wellenlängen mit der KdV Gleichung zusammenhängt. FPU Gitter sind im allgemeinen nicht- integrabel. Trotzdem konnte gezeigt werden, dass sie solitäre Wellenlösungen besitzen, die nahe den Solitonenlösungen des entsprechenden KdV Problems sind. Die folgende Frage ist bis heute hin offen: können die vielen anderen Typen von KdV Lösungen solitärer Art im nicht-integrablen FPU Gitter fortbestehen? In diesem Projekt sollen rationale solitäre KdV Wellen und allgemeiner quasi-periodische KdV Lösungen auf FPU Gitter studiert werden. Ein Existenzresultat für Letztere würde einen entscheidenden Beitrag zur Erklärung des FPU Paradoxon liefern: das FPU Gitter mit einer anfänglich angeregten Mode erreicht kein thermisches Gleichgewicht in endlicher Zeit, sondern die Energie kehrt schließlich zur ursprünglich angeregten Mode zurück. Dies steht im Widerspruch zu Fermis Überzeugung, dass für Systeme mit einer großen Anzahl an Teilchen ein anharmonisches Potential ergodisches Verhalten erzeugt.