Integro-Differentialoperatoren und algebraische Systemtheorie

In der angewandten Mathematik spielen Randwertprobleme eine entscheidende Rolle, da Differentialgleich-ungen in Anwendungen meist in Kombination mit Randbedingungen auftreten. Trotzdem sind Randwert-probleme im symbolischen Rechnen im Gegensatz zu Differentialgleichungen an sich noch wenig behandelt worden. In der algebraischen Systemtheorie ist die Situation ähnlich. Zahlreiche Fragestellungen zu linearen Systemen für gewöhnliche/partielle Differential-, Shift- und Time-delay-Operatoren können mittlerweile einheitlich behandelt und konstruktiv beantwortet werden, was durch die Kombination von symbolischen Methoden für bestimmte Operatoralgebren (Orealgebren) mit Techniken aus der homologischen Algebra ermöglicht wurde. Damit können Randbedingungen aber nicht behandelt werden, weil sie bei diesem Zugang nicht algebraisch ausgedrückt werden können. In der mathematischen Systemtheorie und in Anwendungen spielen Systeme mit Randbedingungen jedoch eine wichtige Rolle. Unser Forschungsziel besteht in der Entwicklung einer algebraischen Grundlage und algorithmischen Methoden zum Lösen, Transformieren und Vereinfachen von Randwertproblemen in Ergänzung zu numerischen Methoden. Für Randwertproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen haben wir dazu Integro-Differentialalgebren eingeführt, die Differentialalgebren mit geeigneten Begriffen für Integration und Evaluation verbinden. Der zu einer gewöhnlichen Integro-Differentialalgebra assoziierte Ring von Integro-Differentialoperatoren erlaubt es in einer algebraischen Struktur sowohl mit Randwertproblemen (Differentialoperator und Randbedingungen) als auch mit den entsprechenden Lösungsoperatoren (Green`sche Operatoren) zu rechnen. Ziel des beantragten Projektes ist es, diese beiden Zugänge zu kombinieren und algebraische und algorithmische Aspekte von Integro-Differentialoperatoren in Zusammenhang und mit Methoden der algebraischen Systemtheorie zu untersuchen. Wir können dazu zwar generische Techniken der algebraischen Systemtheorie (mittels homologischer Algebra) verwenden, aber die existierenden konstruktiven Methoden für Orealgebren können dabei nicht direkt angewendet werden, weil Integro-Differentialoperatoren nicht zu dieser Klasse gehören. Die zentralen Fragestellungen sind daher: Was sind die relevanten algebraischen Eigenschaften von Integro- Differentialoperatoren? Welche Konstruktionen mit Matrizen von Integro-Differentialoperatoren und allgemeiner der homologischen Algebra können algorithmisch gemacht werden? Wie übersetzen sich Eigenschaften von Systemen mit Randbedingungen in Eigenschaften der entsprechenden algebraischen Objekte? Integro-Differentialoperatoren erlauben es uns, lineare eindimensionale Systeme von (Integro- )Differentialgleichungen (zeitinvariant und zeitabhängig) mit Randbedingungen mit algebraischen und symbolischen Methoden zu behandeln. Zusätzlich zu den konstruktiven Methoden werden Prototypimplementationen in einem Computeralgebrasystem entwickelt und Probleme aus Anwendungen untersucht.