Loop- und Grassmann Techniken für Gitter Systeme

In der Physik, sowie auch in vielen anderen Forschungsbereichen, ist das Umschreiben von Problemen eine effiziente und vielversprechende Methode. Liegen zwei oder mehreren Formulierungen vor, so erhöhen sich die Möglichkeiten das Problem zu lösen, bzw. gelingt es oft Schwierigkeiten einer Formulierung zu umgehen. In diesem Antrag konzentrieren wir uns auf die Umformulierung von Modellen der Quantenfeldtheorie oder statistischen Physik, in die Grassmann- oder Loop-Darstellung. Während das Schwinger Modell bei starker Kopplung intensiv studiert wurde sind im schwach koppelnden Bereich noch viele Fragen offen. Einer der Gründe hierfür ist, dass das Fermion-Vorzeichen-Problem intensive numerische Studien nicht zulässt. Unter Verwendung von Wilson Fermionen wurde gezeigt, dass das Umschreiben in die Loop- Darstellung das Vorzeichenproblem zwar entschärft, aber nicht vollständig löst. Wie wir zeigen möchten, führt die Verwendung von Staggered Fermionen zu einer Lösung des Problems. Im Weiteren werden wir Cluster- Algorithmen für dieses Modell adaptieren, Observablen in die Sprache der Loops übersetzen und eine umfassend numerische Studie durchführen. Das zweite Teilprojekt wird sich mit dem Ising Antiferromagnet in zwei Dimensionen beschäftigen. Für das quadratische Gitter ist zwar eine analytische Lösung bekannt, nicht jedoch für nicht-paarige Gitter. Für Ferromagneten erlaubt eine Grassmann-Darstellung des Modells eine weitere, sehr elegante, Lösung. Der Lösungsweg besteht im Wesentlichen aus einer Serien von exakten Abbildungen, und führt schließlich zu Peierls Konturen, die als Gaußsches Grassmann Integral dargestellt werden. Da Peierls Konturen von Antiferromagneten auf dreieckigen, oder sechseckigen Gitterstrukturen wesentlich verschieden sind ist der Lösungsweg über die Grassmann-Darstellung nicht direkt anwendbar. Mit Hilfe von Dualitätstransformationen kann man jedoch antiferromagnetische Modelle auf ferromagnetische Modelle abbilden, die dann den oben angeführten Lösungsweg wieder zulassen würden. Wir möchten für das duale Modell eine Grassmann-Darstellung ableiten, und so eine Lösung des Antiferromagneten auf einem dreieckigen Gitter konstruieren. In unserem dritten Teilprojekt untersuchen wir Flächen in höher dimensionalen Räumen. Auch flächige Modelle können mit Hilfe eines Grassmann Integrals dargestellt werden. Jedem Flächenelement wird ein gewisses Gewicht zugeordnet, welches als Funktion der Kopplungen im Grassmann Integral, geschrieben werden kann. Ziel des Projektes ist es, den Parameterraum der Kopplungen systematisch zu untersuchen und so eine Repräsentation hochdimensionaler fermionischer Modelle zu konstruieren.