Grundlagen der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie

Die zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie ist eine Reformulierung der Quantenmechanik auf Basis der Ein- Teilchen-Dichte anstelle der Wellenfunktion. Die Ein-Teilchen-Dichte kann vermöge der üblichen wechselwirkenden Vielteilchen-Schrödinger-Gleichung oder auch durch eine numerisch sehr viel leichter zu behandelnden nicht-wechselwirkenden, so genannten Kohn-Sham-Gleichung erzeugt werden. Hierbei wird ein Großteil der Information über das Vielteilchen-System in ein effektives Ein-Teilchen-Potential verlagert. Das Hauptaugenmerk in der Anwendung der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie liegt in der Bestimmung von möglichst akkuraten Näherungen an das sehr komplexe effektive Potential. Diese Näherungen finden Anwendung in vielen verschiedenen Gebieten der Physik, aber auch in der Chemie oder der Biologie. Dieses Projekt soll bestimmte mathematische Aspekte und theoretische Fragestellungen der zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie untersuchen, um somit auch die Verlässlichkeit dieser Vielteilchen-Theorie zu verbessern. Ein rigoroser Existenz-Beweis für diese effektiven Potentiale unter möglichst wenigen Voraussetzungen wird angestrebt. Auch soll versucht werden das erweiterte Runge-Gross Theorem zu verallgemeinern. Zusätzlich wird die resonante Wechselwirkung eines Vielteilchensystems mit einem externen Feld aus der Sicht einer Dichtefunktionaltheorie untersucht. Die hieraus gewonnen Erkenntnisse sollen dazu beitragen, dass eine Näherung an das effektive Potential konstruiert werden kann, welche die resonanten Dichte-Dynamiken des Systems wiedergibt. Eine derartige Näherung kann in einem nächsten Schritt auf komplexere Systeme, die mit einem externen Feld resonant wechselwirken, angewandt werden. Zwei wichtige, aber kaum untersuchte Eigenschaften dieser effektiven Potentiale stellen die Anfangszustands- Abhängigkeit und die Abhängigkeit von früheren Zeitpunkten, das so genannte "Memory", dar. Im Speziellen soll die Veränderung des effektiven Potentials und die Verlässlichkeit von Näherungen in Abhängigkeit der Wahl des Anfangszustandes betrachtet werden. Gibt es eine Möglichkeit diese "Memory"-Eigenschaft durch eine numerisch effizientere Methode als Integrale über vorherige Zeitpunkte zu implementieren? Ein weiterer wichtiger Punkt, der mit diesem Stipendium untersucht werden soll, ist der Zusammenhang zwischen der zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie und der Theorie von Nicht-Equilibriums Greenschen Funktionen. Es sollen Gleichungen für das effektive Potential, die für beliebige Anfangskorrelationen gelten, mittels einer Störungstheorie basierend auf diesen so genannten Keldysh-Greenschen Funktionen hergeleitet werden. Auch eine Gleichung für das effektive Potential über Variation des Luttinger-Ward-Funktionals erweitert auf beliebigen Anfangskorrelationen soll abgeleitet werden. Schließlich, spätestens mit dem Beginn der Rückkehrphase, soll die zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie oder verwandte Methoden auf Probleme der ultra-kalten Quantengase oder Quantenoptik angewandt werden.