Anwendung der Mengenlehre in der Algebra: Der Klonverband

Im Zuge eines Erwin-Schrödinger-Auslandsstipendiums des FWF möchte ich Professor Friedrich Wehrung am Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme CNRS UMR 6139 in Caen, Frankreich, für zwei Jahre besuchen. Das Ziel des Projektes ist es, Methoden der Mengenlehre zu erlernen, um diese dann in der Erforschung des Klonverbandes über einer unendlichen Grundmenge einzusetzen. Ein Klon (englisch: clone) ist eine Menge endlichstelliger Operationen auf einer Grundmenge X, die alle Projektionen enthält und die zudem unter Komposition abgeschlossen ist. Die Menge aller Klone auf X bildet einen vollständigen algebraischen Verband Cl(X), der als Klonverband bezeichnet wird. Das Erforschen von Cl(X) ist aufgrund der natürlichen Definition eines Klones und der Tatsache, daß Klone von zentraler Bedeutung in der universellen Algebra sind, an sich interessant; darüber hinaus sind zahlreiche Anwendungen in der Algebra und der theoretischen Informatik bekannt. Während sich diese Erforschung im Falle einer endlichen Grundmenge X meist auf finitäre Methoden und klassische Methoden der Algebra stützt, hat sich in letzter Zeit herausgestellt, daß für unendliches X Methoden der Mengenlehre und der Logik adäquater sind. In den vergangenen sieben Jahren wurden Forcing, unendliche Kombinatorik, deskriptive Mengenlehre, Ultrafilter, und andere Konstruktionen aus der Mengenlehre erfolgreich in der Theorie des Klonverbandes über einer unendlichen Grundmenge eingesetzt. Mit den Methoden, die ich von Wehrung zu erlernen glaube, möchte ich mich verschiedenen Problemen dieser Theorie widmen, darunter: Unterverbände, Intervalle, im Speziellen monoidale Intervalle, duale Atomizität, und die Abhängigkeit des Klonverbandes von Partitionseigenschaften der Grundmenge. Professor Wehrung ist ein führender Experte in der Verbandstheorie. Vor allem hat er einen mengentheoretischen Hintergrund, und hat Methoden der Mengenlehre unzählige Male genützt, um bedeutende Resultate in der universellen Algebra zu zeigen; zu seinen prominentesten Errungenschaften gehört seine unlängst veröffentlichte Lösung eines Problemes von Dilworth. Ich bin überzeugt, daß die gemeinsame Arbeit mit ihm meine Fähigkeiten in der Mengenlehre und der Verbandstheorie und darin, diese beiden Gebiete zu verbinden, erweitern wird, und gehe davon aus, daß mein Besuch darüber hinaus zu signifikanten Beiträgen zur Theorie des Klonverbandes auf einer unendlichen Menge führen wird.