Methoden für Diophantische Probleme

In diesem Projekt geht es um das Lösen von Diophantischen Problemen, das heißt es werden Lösungen in den natürlichen oder ganzen Zahlen und nicht etwa in den reellen Zahlen für die betrachteten Probleme gesucht. Dazu werden verschiedenste Methoden, nämlich so genannte effektive und ineffektive, eingesetzt. Im Jahre 1970 hat Matijasevic eine negative Antwort auf das 10. Hilbertsche Problem, welches nach einem universellen Algorithmus für die Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung fragt, gegeben. Seit dem ist man auf der Suche nach möglichst großen Klassen von Diophantischen Problemen (neben Gleichungen treten z.B. Ungleichungen, aber auch andere Probleme auf) für die wir die algorithmische Lösbarkeit beweisen können. Es sind aber auch schwächere Aussagen von Interesse, wie zum Beispiel die Frage, ob eine Klasse nur endlich viele Lösungen besitzt oder nicht, also qualitative Aussagen, oder die Herleitung einer oberen Schranke für die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von gewissen Parametern der Klasse, solche Ergebnisse nennt man quantitative Resultate. Derartige Fragestellungen sollen in diesem Projekt mit verschiedenen Methoden untersucht werden. Ineffektive Methoden, wie zum Beispiel der berühmte Teilraum-Satz des österreichischen Mathematikers W.M. Schmidt, führen zu qualitativen und quantitativen Ergebnissen, während effektive Methoden, wie z.B. der Bakersche Satz für Linearformen in Logarithmen algebraischer Zahlen, zu effektiven - also algorithmisch auswertbaren - Resultaten führen. In diesem Projekt werden eine Reihe von konkreten Problemen angeführt, die damit behandelt werden sollen. Im ersten Teil geht es vor allem um Diophantische Gleichungen und Ungleichungen, insbesondere solchen in denen linear rekursive Folgen vorkommen. Im zweiten Teil werden neue Konstruktionsmethoden von so genannten elliptischen Kurven untersucht, die kürzlich durch A. Dujella initiiert worden sind. Diese Methoden haben Anwendungen in der Kryptografie, also in der Datensicherheit.